Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 59, 26, 59, 46, 19, 10.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 12. Знайдіть z-оцінку z для результату 107,2.

μ = 100σ = 12x = 107,2

z =

3.ІмовірністьСередня

У мішечку 7 червоних і 6 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

7 / 6

P =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 10 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,1, незалежно. Яка ймовірність P рівно 4 правильних відповідей?

n = 10p = 0,1k = 4

P =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,9370. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9370

z =

6.Нормальний розподілСкладна

строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 95% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 500 hσ = 40 h95%

x = h

7.Довірчі інтервалиСередня

95 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 25 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 10,2. Якою буде гранична похибка E₂ 90 % інтервалу за 225 спостереженнями?

95%n₁ = 25E₁ = 10,290%n₂ = 225

E₂ =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 95 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,05?

p = 0,5E = 0,0595%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

15 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 2,77, стандартне відхилення різниць 6,3. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 15d̄ = 2,77s_d = 6,3

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 84 з 120 пацієнтів, які отримували лікування A, і 114 з 150 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 84n₁ = 120x₂ = 114n₂ = 150

z =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3, 5). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(3, 5)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 21,08

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 219/6 = 36,5

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 22,5² + (−10,5)² + 22,5² + 9,5² + (−17,5)² + (−26,5)² = 2222

Стандартне відхилення

s = √(2222/5) = 21,08

Відповідь

s = 21,08

2.Описова статистика

Відповідь: z = 0,6

Стандартизуйте

z = (107,2 − 100)/12 = 0,6

Відповідь

z = 0,6

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,2692

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 7/13 · 6/12 = 42/156 = 0,2692

Відповідь

P = 0,2692

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,01116

Біноміальна формула

P(X = 4) = 210·0,1⁴·0,9⁶ = 210·0,0001·0,5314 = 0,01116

Відповідь

P = 0,01116

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −1,53

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,9370 = 0,0630

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,0630 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −1,53

Відповідь

z = −1,53

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 566 h

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,95

z з таблиці

z ≈ 1,64

Назад до початкових одиниць

x = 500 + 1,64·40 = 566 h

Відповідь

x = 566 h

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 2,854

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(25/225) = 0,2798

Нова похибка

E₂ = 10,2·0,2798 = 2,854

Відповідь

E₂ = 2,854

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 385

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,05² = 384,2

Округліть угору

n = 385

Відповідь

n = 385

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,703

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 6,3/√15 = 1,627

Статистика критерію

t = 2,77/1,627 = 1,703

Відповідь

t = 1,703

При df = 14 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,145; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −1,108

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Вибіркові частки

p̂₁ = 84/120 = 0,7

p̂₂ = 114/150 = 0,76

p̂ = 198/270 = 0,7333

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,7333·0,2667·(1/120 + 1/150)) = 0,05416

Статистика критерію

z = (0,7 − 0,76)/0,05416 = −1,108

Відповідь

z = −1,108

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,943

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 338/5 = 67,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 261

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 851,2

Коефіцієнт кореляції

r = 261/√(90·851,2) = 0,943

Відповідь

r = 0,943

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −5,29

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 143/6 = 23,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 237

Лінія регресії

b = 237/70 = 3,386

a = 23,83 − 3,386·7 = 0,1333

ŷ = 0,1333 + 3,386·x

Прогнозоване значення

ŷ = 0,1333 + 3,386·3 = 10,29

Залишок

e = 5 − 10,29 = −5,29

Відповідь

e = −5,29

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1