Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 46, 47, 24, 52, 55, 17.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень більша за 70?

μ = 60σ = 8x = 70

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

σ =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 10X + 4. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,35, 0,05, 0,35Y = 10X + 4

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 12 min і середнім квадратичним відхиленням 1,5 min; Y незалежна й нормальна із середнім 20 min і середнім квадратичним відхиленням 2 min. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 29,5 min. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 29,5 min

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Зріст чоловіків (X) і жінок (Y) у групі незалежні та нормальні: X має середнє 180 cm і середнє квадратичне відхилення 10 cm, Y має середнє 170 cm і середнє квадратичне відхилення 12 cm. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 80 телефонів, середнє 57,5 h, відоме стандартне відхилення 15 h. Модель 2: 80 телефонів, середнє 68 h, відоме стандартне відхилення 6 h. Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 57,5 hσ₁ = 15 hn₂ = 80x̄₂ = 68 hσ₂ = 6 h99%

E = h

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 17 ділянок, середній урожай 87,5 kg, стандартне відхилення 4 kg. Група ділянок 2: 9 ділянок, середнє 81 kg, стандартне відхилення 9 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 17x̄₁ = 87,5s₁ = 4n₂ = 9x̄₂ = 81s₂ = 999%t(24) = 2,797

нижня межа = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 120; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 7,5. Випадкова вибірка з 25 спостережень має середнє 122,82. Перевірте H₀: μ = 120 проти H₁: μ ≠ 120. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 120σ = 7,5n = 25x̄ = 122,82H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 49 вимірювань має середнє 69,6. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 15. Знайдіть нижню межу L 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 69,6σ = 15n = 4999%

L =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 69?

n = 6ŷ = 69

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 15,74

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 241/6 = 40,17

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 5,833² + 6,833² + (−16,17)² + 11,83² + 14,83² + (−23,17)² = 1239

Стандартне відхилення

s = √(1239/5) = 15,74

Відповідь

s = 15,74

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,1056

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Відповідь

P = 0,1056

3.Імовірність

Відповідь: σ = 0,8047

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Дисперсія

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Відповідь

σ = 0,8047

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 12,04

Розкид X

μ = 1,5, Var(X) = 1,45, σ_X = 1,204

Лінійна зміна

σ_Y = |10|·1,204 = 12,04

Відповідь

σ_Y = 12,04

Середнє таки зсувається: E(Y) = 10·1,5 + 4 = 19.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (29,5 − 32)/2,5 = −1

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

6.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7389

Розподіл різниці

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Відповідь

P = 0,7389

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 4,653 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 57,5 − 68 = −10,5

Стандартна похибка

SE = √(15²/80 + 6²/80) = 1,806

Похибка оцінки

E = 2,576·1,806 = 4,653

Відповідь

E = 4,653 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

8.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −0,5764 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (16·4² + 8·9²)/24 = 37,67

s_p = 6,137

Похибка оцінки

E = 2,797·6,137·√(1/17 + 1/9) = 7,076

Інтервал

6,5 ± 7,076 → [−0,5764, 13,58]

Відповідь

нижня межа = −0,5764 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,06011

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 7,5/√25 = 1,5

z = (122,82 − 120)/1,5 = 1,88

Площа хвоста

Φ(1,88) = 0,9699

1 − Φ(1,88) = 0,0301

p-значення

p = 2·0,0301 = 0,06011

Відповідь

p = 0,06011

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 64,08

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 2,576·15/√49 = 5,52

Межа інтервалу

L = 69,6 − 5,52 = 64,08

Відповідь

L = 64,08

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9894

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 395/6 = 65,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 255

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 938,8

Коефіцієнт детермінації

r² = 255²/(70·938,8) = 0,9894

Відповідь

r² = 0,9894

Близько 98,94% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 6,164

Середні

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 408/6 = 68

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 428

Лінія регресії

b = 428/70 = 6,114

a = 68 − 6,114·6 = 31,31

ŷ = 31,31 + 6,114·x

Розв’яжіть щодо x

x = (69 − 31,31)/6,114 = 6,164

Відповідь

x = 6,164

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1