Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 60, 10, 57, 48, 54, 58.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 50.

μ = 60σ = 20x = 50

z =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,35, 0,1, 0,35

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 5X + 4. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,2, 0,35, 0,15, 0,15Y = 5X + 4

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 45,5 і 75,5 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 65σ = 10x₁ = 45,5x₂ = 75,5

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 97,5 % значень (97,5-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 97,5%

x = h

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 11 елементів має середнє 116,5 і стандартне відхилення s = 4,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 11x̄ = 116,5s = 4,590%t(10) = 1,812

E =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 5 ділянок, середній урожай 13 kg, стандартне відхилення 2 kg. Група ділянок 2: 12 ділянок, середнє 19 kg, стандартне відхилення 3 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 13s₁ = 2n₂ = 12x̄₂ = 19s₂ = 390%t(15) = 1,753

верхня межа = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 студентів має середній бал 75,56 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 75,56s = 4n = 25

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2,5? Стандартне відхилення — 20. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 20E = 2,595%

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 9.

n = 5x = 9

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 19

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 287/6 = 47,83

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 12,17² + (−37,83)² + 9,167² + 0,1667² + 6,167² + 10,17² = 1805

Стандартне відхилення

s = √(1805/5) = 19

Відповідь

s = 19

2.Описова статистика

Відповідь: z = −0,5

Стандартизуйте

z = (50 − 60)/20 = −0,5

Відповідь

z = −0,5

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 1,34

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,2 + 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,35 = 1,6

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,35 = 3,9

Дисперсія

Var(X) = 3,9 − 1,6² = 1,34

Відповідь

Var(X) = 1,34

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 6,22

Розкид X

μ = 2,95, Var(X) = 1,548, σ_X = 1,244

Лінійна зміна

σ_Y = |5|·1,244 = 6,22

Відповідь

σ_Y = 6,22

Середнє таки зсувається: E(Y) = 5·2,95 + 4 = 18,75.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8276

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (45,5 − 65)/10 = −1,95

z₂ = (75,5 − 65)/10 = 1,05

Площа між

P = Φ(1,05) − Φ(−1,95) = 0,8531 − 0,02559 = 0,8276

Відповідь

P = 0,8276

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 578,4 h

z для процентиля

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Назад до x

x = 500 + 1,96·40 = 578,4 h

Відповідь

x = 578,4 h

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 2,459

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Похибка оцінки

E = 1,812·4,5/√11 = 2,459

Відповідь

E = 2,459

8.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = −3,416 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (4·2² + 11·3²)/15 = 7,667

s_p = 2,769

Похибка оцінки

E = 1,753·2,769·√(1/5 + 1/12) = 2,584

Інтервал

−6 ± 2,584 → [−8,584, −3,416]

Відповідь

верхня межа = −3,416 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 0,7

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Статистика критерію

t = (75,56 − 75)/0,8 = 0,7

Відповідь

t = 0,7

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 246

Виразіть n

n = (1,96·20/2,5)² = 245,9

Округліть угору

n = 246

Відповідь

n = 246

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9429

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 92/6 = 15,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −44

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 117,3

Коефіцієнт детермінації

r² = −44²/(17,5·117,3) = 0,9429

Відповідь

r² = 0,9429

Близько 94,29% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 18,9

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 63/5 = 12,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84

Лінія регресії

b = 84/40 = 2,1

a = 12,6 − 2,1·6 = 0

ŷ = 0 + 2,1·x

Прогноз

ŷ = 0 + 2,1·9 = 18,9

Відповідь

ŷ = 18,9

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1