Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 34, 43, 48, 36, 25, 48, 21.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень більша за 62?

μ = 50σ = 12x = 62

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,35, 0,35, 0,15

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €3. Ви виграєте €12 з імовірністю 0,15 і €60 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €3€12: p = 0,15€60: p = 0,01

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,7257. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,7257

z =

6.Нормальний розподілСкладна

строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 85% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 500 hσ = 40 h85%

x = h

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 11 елементів має середнє 43 і стандартне відхилення s = 3,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 11x̄ = 43s = 3,599%t(10) = 3,169

верхня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,8 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 90 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,05?

p ≈ 0,8E = 0,0590%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 36 студентів має середній бал 52,33 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 52,33s = 20n = 36

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2? Стандартне відхилення — 15. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 15E = 295%

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 30Σy = 49Σx² = 220Σy² = 523Σxy = 334

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3, 11). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(3, 11)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 10,69

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 255/7 = 36,43

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−2,429)² + 6,571² + 11,57² + (−0,4286)² + (−11,43)² + 11,57² + (−15,43)² = 685,7

Стандартне відхилення

s = √(685,7/6) = 10,69

Відповідь

s = 10,69

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,1587

Стандартизуйте

z = 1

Таблиця нормального розподілу

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Відповідь

P = 0,1587

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 0,85

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,15 + 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,15 = 1,5

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,15 = 3,1

Дисперсія

Var(X) = 3,1 − 1,5² = 0,85

Відповідь

Var(X) = 0,85

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = −0,6 €

Чисті результати

G: 9 (p = 0,15), 57 (p = 0,01), −3 (p = 0,84)

Математичне сподівання

E(G) = 9·0,15 + 57·0,01 − 3·0,84 = −0,6 €

Відповідь

E(G) = −0,6 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −0,6

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,7257 = 0,2743

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,2743 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −0,60

Відповідь

z = −0,60

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 458 h

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,15

z з таблиці

z ≈ −1,04

Назад до початкових одиниць

x = 500 − 1,04·40 = 458 h

Відповідь

x = 458 h

7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 46,34

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Похибка оцінки

E = 3,169·3,5/√11 = 3,344

Інтервал

43 ± 3,344 → [39,66, 46,34]

Відповідь

верхня межа = 46,34

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 174

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,645²·0,8·0,2/0,05² = 173,2

Округліть угору

n = 174

Відповідь

n = 174

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 0,699

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333

Статистика критерію

t = (52,33 − 50)/3,333 = 0,699

Відповідь

t = 0,699

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 217

Виразіть n

n = (1,96·15/2)² = 216,1

Округліть угору

n = 217

Відповідь

n = 217

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9667

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 334 − 30·49/5 = 40

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 523 − 49²/5 = 42,8

Коефіцієнт кореляції

r = 40/√(40·42,8) = 0,9667

Відповідь

r = 0,9667

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −1,652

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 175/6 = 29,17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 289

Лінія регресії

b = 289/70 = 4,129

a = 29,17 − 4,129·7 = 0,2667

ŷ = 0,2667 + 4,129·x

Прогнозоване значення

ŷ = 0,2667 + 4,129·3 = 12,65

Залишок

e = 11 − 12,65 = −1,652

Відповідь

e = −1,652

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1