Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 16, 56, 15, 10, 27.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень менша за 70?

μ = 60σ = 8x = 70

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,35, 0,05, 0,2, 0,3

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €3. Ви виграєте €15 з імовірністю 0,3 і €150 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €3€15: p = 0,3€150: p = 0,01

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,0808. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,0808

z =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 10 % значень (10-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

7.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 30 телефонів, середнє 145 h, відоме стандартне відхилення 6 h. Модель 2: 80 телефонів, середнє 137 h, відоме стандартне відхилення 16 h. Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 145 hσ₁ = 6 hn₂ = 80x̄₂ = 137 hσ₂ = 16 h99%

E = h

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 8 ділянок, середній урожай 97,5 kg, стандартне відхилення 3 kg. Група ділянок 2: 9 ділянок, середнє 85,5 kg, стандартне відхилення 10 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 97,5s₁ = 3n₂ = 9x̄₂ = 85,5s₂ = 1099%t(15) = 2,947

E = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

7 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця −5,14, стандартне відхилення різниць 3,4. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 7d̄ = −5,14s_d = 3,4

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2,5? Стандартне відхилення — 15. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 15E = 2,595%

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 52?

n = 6ŷ = 52

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 18,51

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 124/5 = 24,8

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−8,8)² + 31,2² + (−9,8)² + (−14,8)² + 2,2² = 1371

Стандартне відхилення

s = √(1371/4) = 18,51

Відповідь

s = 18,51

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8944

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Відповідь

P = 0,8944

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 2,088

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,1 + 1·0,35 + 2·0,05 + 3·0,2 + 4·0,3 = 2,25

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,35 + 4·0,05 + 9·0,2 + 16·0,3 = 7,15

Дисперсія

Var(X) = 7,15 − 2,25² = 2,088

Відповідь

Var(X) = 2,088

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = 3 €

Чисті результати

G: 12 (p = 0,3), 147 (p = 0,01), −3 (p = 0,69)

Математичне сподівання

E(G) = 12·0,3 + 147·0,01 − 3·0,69 = 3 €

Відповідь

E(G) = 3 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,4

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,0808 = 0,9192

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9192 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,40

Відповідь

z = 1,40

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 169 cm

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Назад до x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

Відповідь

x = 169,03 cm

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 5,403 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 145 − 137 = 8

Стандартна похибка

SE = √(6²/30 + 16²/80) = 2,098

Похибка оцінки

E = 2,576·2,098 = 5,403

Відповідь

E = 5,403 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

8.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 10,86 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (7·3² + 8·10²)/15 = 57,53

s_p = 7,585

Похибка оцінки

E = 2,947·7,585·√(1/8 + 1/9) = 10,86

Відповідь

E = 10,86 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −4

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 3,4/√7 = 1,285

Статистика критерію

t = −5,14/1,285 = −4

Відповідь

t = −4

При df = 6 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,447; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 139

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,96·15/2,5)² = 138,3

Округліть угору

n = 139

Відповідь

n = 139

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9819

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 558/5 = 111,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 390

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1721

Коефіцієнт детермінації

r² = 390²/(90·1721) = 0,9819

Відповідь

r² = 0,9819

Близько 98,19% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 2,003

Середні

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 485/6 = 80,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 505

Лінія регресії

b = 505/70 = 7,214

a = 80,83 − 7,214·6 = 37,55

ŷ = 37,55 + 7,214·x

Розв’яжіть щодо x

x = (52 − 37,55)/7,214 = 2,003

Відповідь

x = 2,003

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1