Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 56, 33, 37, 39, 41, 58.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 62.

μ = 50σ = 20x = 62

z =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,35, 0,05, 0,35

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 9 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,1, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?

n = 9p = 0,1k = 2

P =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 244 і 252,75 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 250σ = 5x₁ = 244x₂ = 252,75

P =

6.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 60% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів60%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 50 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 1,6. Якою буде гранична похибка E₂ 90 % інтервалу за 200 спостереженнями?

99%n₁ = 50E₁ = 1,690%n₂ = 200

E₂ =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 26. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2?

σ = 26E = 290%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 81 студентів має середній бал 72,24 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72,24s = 8n = 81

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2? Стандартне відхилення — 10. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 10E = 295%

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 3,5.

n = 5x = 3,5

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 10,43

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 264/6 = 44

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 12² + (−11)² + (−7)² + (−5)² + (−3)² + 14² = 544

Стандартне відхилення

s = √(544/5) = 10,43

Відповідь

s = 10,43

2.Описова статистика

Відповідь: z = 0,6

Стандартизуйте

z = (62 − 50)/20 = 0,6

Відповідь

z = 0,6

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 1,45

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,25 + 1·0,35 + 2·0,05 + 3·0,35 = 1,5

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,35 + 4·0,05 + 9·0,35 = 3,7

Дисперсія

Var(X) = 3,7 − 1,5² = 1,45

Відповідь

Var(X) = 1,45

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,1722

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 2) = 36·0,1²·0,9⁷ = 36·0,01·0,4783 = 0,1722

Відповідь

P = 0,1722

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,5938

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (244 − 250)/5 = −1,2

z₂ = (252,75 − 250)/5 = 0,55

Площа між

P = Φ(0,55) − Φ(−1,2) = 0,7088 − 0,1151 = 0,5938

Відповідь

P = 0,5938

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 67,5 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,6

z з таблиці

z ≈ 0,25

Назад до початкових одиниць

x = 65 + 0,25·10 = 67,5 балів

Відповідь

x = 67,5 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 0,5109

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(50/200) = 0,3193

Нова похибка

E₂ = 1,6·0,3193 = 0,5109

Відповідь

E₂ = 0,5109

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 458

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,645·26/2)² = 457,3

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 458

Відповідь

n = 458

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −3,105

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 8/√81 = 8/9 = 0,8889

Статистика критерію

t = (72,24 − 75)/0,8889 = −3,105

Відповідь

t = −3,105

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 97

Виразіть n

n = (1,96·10/2)² = 96,04

Округліть угору

n = 97

Відповідь

n = 97

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,8899

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 101/5 = 20,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 66,8

Коефіцієнт кореляції

r = −23/√(10·66,8) = −0,8899

Відповідь

r = −0,8899

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 21,4

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 113/5 = 22,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

Лінія регресії

b = −24/10 = −2,4

a = 22,6 − (−2,4)·3 = 29,8

ŷ = 29,8 − 2,4·x

Прогноз

ŷ = 29,8 + (−2,4)·3,5 = 21,4

Відповідь

ŷ = 21,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1