Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 32, 49, 55, 28, 52, 30.
n = 6
s =
2.Описова статистикаСкладна
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 12. Знайдіть z-оцінку z для результату 38.
μ = 50σ = 12x = 38
z =
3.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 5 осіб із групи з 12 осіб? Порядок не має значення.
n = 12k = 5
N =
4.ІмовірністьСкладна
X має показаний розподіл, а Y = 2X + 4. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,2, 0,35, 0,15Y = 2X + 4
σY =
5.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,7373. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,7373
z =
6.Нормальний розподілСкладна
Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,04 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.
отвір: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 9 елементів має середнє 97 і стандартне відхилення s = 1,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 9x̄ = 97s = 1,595%t(8) = 2,306
верхня межа =
8.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 5 ділянок, середній урожай 35,5 kg, стандартне відхилення 9 kg. Група ділянок 2: 17 ділянок, середнє 44 kg, стандартне відхилення 9,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
n₁ = 5x̄₁ = 35,5s₁ = 9n₂ = 17x̄₂ = 44s₂ = 9,595%t(20) = 2,086
верхня межа = kg
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Порівнюють два методи навчання. Група 1: 10 студентів, середній бал 21, стандартне відхилення 9. Група 2: 11 студентів, середній бал 30,6, стандартне відхилення 8. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).
n₁ = 10x̄₁ = 21s₁ = 9n₂ = 11x̄₂ = 30,6s₂ = 8
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 49 вимірювань має середнє 74,9. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 10. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 74,9σ = 10n = 4999%
U =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 3,5.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 12,26
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 246/6 = 41
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−9)² + 8² + 14² + (−13)² + 11² + (−11)² = 752
Стандартне відхилення
s = √(752/5) = 12,26
Відповідь
s = 12,26
2.Описова статистика
Відповідь: z = −1
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (38 − 50)/12 = −1
Відповідь
z = −1
3.Імовірність
Відповідь: N = 792
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(12, 5) = (12·11·10·9·8)/(5·4·3·2·1) = 792
Відповідь
N = 792
4.Імовірність
Відповідь: σY = 2,124
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 1,35, Var(X) = 1,128, σX = 1,062
Лінійна зміна
σY = |2|·1,062 = 2,124
Відповідь
σY = 2,124
Середнє таки зсувається: E(Y) = 2·1,35 + 4 = 6,7.
5.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 1,12
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,7373)/2 = 0,8686
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,8686 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 1,12
Відповідь
z = 1,12
6.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9868
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22
Імовірність
P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868
Відповідь
P = 0,9868
7.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 98,15
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 8, t = 2,306
Похибка оцінки
E = 2,306·1,5/√9 = 1,153
Інтервал
97 ± 1,153 → [95,85, 98,15]
Відповідь
верхня межа = 98,15
8.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 1,478 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (4·9² + 16·9,5²)/20 = 88,4
sp = 9,402
Похибка оцінки
E = 2,086·9,402·√(1/5 + 1/17) = 9,978
Інтервал
−8,5 ± 9,978 → [−18,48, 1,478]
Відповідь
верхня межа = 1,478 kg
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −2,588
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Об’єднана дисперсія
sp² = (9·9² + 10·8²)/19 = 72,05
sp = 8,488
Стандартна похибка
SE = 8,488·√(1/10 + 1/11) = 3,709
Статистика критерію
t = (21 − 30,6)/3,709 = −2,588
Відповідь
t = −2,588
При df = 19 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,093; |t| більше, тож H₀ відхиляється.
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 78,58
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 2,576·10/√49 = 3,68
Межа інтервалу
U = 74,9 + 3,68 = 78,58
Відповідь
U = 78,58
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9787
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 281/6 = 46,83
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 171
Syy = Σ(y − ȳ)² = 426,8
Коефіцієнт детермінації
r² = 171²/(70·426,8) = 0,9787
Відповідь
r² = 0,9787
Близько 97,87% варіації y пояснюється прямою.
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 18,83
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 113/6 = 18,83
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −41,5
Лінія регресії
b = −41,5/17,5 = −2,371
a = 18,83 − (−2,371)·3,5 = 27,13
ŷ = 27,13 − 2,371·x
Прогноз
ŷ = 27,13 + (−2,371)·3,5 = 18,83
Відповідь
ŷ = 18,83
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1