Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня
2025303540455055

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 17, 42, 16, 36, 56, 34, 58.

n = 7
s =
2.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 5. Знайдіть z-оцінку z для результату 45.

μ = 50σ = 5x = 45
z =
3.ІмовірністьСередня
червоні: 3сині: 9

У мішечку 3 червоних і 9 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

3 / 9
P =
4.ІмовірністьСкладна
xp(x)00,310,3520,230,15μ

X має показаний розподіл, а Y = 5X + 1. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,35, 0,2, 0,15Y = 5X + 1
σY =
5.Нормальний розподілСередня
−3−2−10123zзаштрихована площа між −z і z = 0,8836

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,8836. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,8836
z =
6.Нормальний розподілСкладна
557085100115130145балівниз 15%

результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 15% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 100 балівσ = 15 балів15%
x = балів
7.Довірчі інтервалиСередня
n = 30, s = 12LUx̄ = 112,5E = ?99%

Вибірка з 30 елементів має середнє 112,5 і стандартне відхилення s = 12. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 30x̄ = 112,5s = 1299%t(29) = 2,756
E =
8.Довірчі інтервалиСкладна
p = 0,5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0199%

Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,01?

p = 0,5E = 0,0199%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −1,9901,99

Вибірка з 81 студентів має середній бал 71,33 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 71,33s = 15n = 81
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
μ₀x̄c

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 100 проти H₁: μ < 100 виконують на рівні α = 0.01 за вибіркою обсягом 100; стандартне відхилення відоме й дорівнює 30. Насправді середнє дорівнює 92.8. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 100μ = 92,8σ = 30n = 100α = 0,01
1 − β = %
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy14935956977699111105xy5106080100

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 36Σy = 449Σx² = 286Σy² = 35725Σxy = 3077
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy264106158181023xy5101020x = 5

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (5, 14). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(5, 14)
e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 16,72

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 259/7 = 37

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−20)² + 5² + (−21)² + (−1)² + 19² + (−3)² + 21² = 1678

Стандартне відхилення

s = √(1678/6) = 16,72

Відповідь

s = 16,72
2.Описова статистика

Відповідь: z = −1

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = (45 − 50)/5 = −1

Відповідь

z = −1
3.Імовірність

Відповідь: P = 0,04545

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 3/12 · 2/11 = 6/132 = 0,04545

Відповідь

P = 0,04545
4.Імовірність

Відповідь: σY = 5,148

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 1,2, Var(X) = 1,06, σX = 1,03

Лінійна зміна

σY = |5|·1,03 = 5,148

Відповідь

σY = 5,148

Середнє таки зсувається: E(Y) = 5·1,2 + 1 = 7.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,57

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,8836)/2 = 0,9418

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9418 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,57

Відповідь

z = 1,57
6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 84,4 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,15

z з таблиці

z ≈ −1,04

Назад до початкових одиниць

x = 100 − 1,04·15 = 84,4 балів

Відповідь

x = 84,4 балів
7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 6,038

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 29, t = 2,756

Похибка оцінки

E = 2,756·12/√30 = 6,038

Відповідь

E = 6,038
8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 16590

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,01² = 16589

Округліть угору

n = 16590

Відповідь

n = 16590
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,202

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667

Статистика критерію

t = (71,33 − 75)/1,667 = −2,202

Відповідь

t = −2,202
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| > 1,99, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 52,95 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 30/√100 = 3
x̄c = 100 − 2,326·3 = 93,02

z при справжньому середньому

z = (93,02 − 92,8)/3 = 0,074

Потужність

потужність = P(Z < 0.074) = 52.95%
1 − β = 52,95%

Відповідь

1 − β = 52,95%
11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9931

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

Sxy = 3077 − 36·449/6 = 383
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 35725 − 449²/6 = 2125

Коефіцієнт кореляції

r = 383/√(70·2125) = 0,9931

Відповідь

r = 0,9931
12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 1,7

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 72/5 = 14,4

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84

Лінія регресії

b = 84/40 = 2,1
a = 14,4 − 2,1·6 = 1,8
ŷ = 1,8 + 2,1·x

Прогнозоване значення

ŷ = 1,8 + 2,1·5 = 12,3

Залишок

e = 14 − 12,3 = 1,7

Відповідь

e = 1,7

Точка лежить вище прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1