Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 20, 33, 45, 58, 13, 39, 24.
n = 7
s =
2.Описова статистикаСкладна
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 25. Знайдіть z-оцінку z для результату 537,5.
μ = 500σ = 25x = 537,5
z =
3.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,1, 0,35, 0,3, 0,05
Var(X) =
4.ІмовірністьСкладна
X має показаний розподіл, а Y = 0,5X + 5. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,2, 0,2, 0,1, 0,2Y = 0,5X + 5
σY =
5.Нормальний розподілСередня
Маси пасажири з багажем незалежні та нормальні із середнім 85 kg і середнім квадратичним відхиленням 12 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 16 з них менша за 1312 kg. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16< 1312 kg
P =
6.Нормальний розподілСкладна
Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 90 % значень (90-й процентиль).
μ = 65σ = 10P = 90%
x = балів
7.Довірчі інтервалиСередня
90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 25 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 3. Якою буде гранична похибка E₂ 95 % інтервалу за тими самими даними?
90%n₁ = 25E₁ = 395%
E₂ =
8.Довірчі інтервалиСкладна
Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,4 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 90 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,02?
p ≈ 0,4E = 0,0290%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
16 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 1,55, стандартне відхилення різниць 6,2. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μd = 0.
n = 16d̄ = 1,55sd = 6,2
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 81 вимірювань має середнє 120,2. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 10. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 120,2σ = 10n = 8195%
L =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 5Σx = 15Σy = 82Σx² = 55Σy² = 1390Σxy = 227
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 2,5.
n = 5x = 2,5
ŷ =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 15,57
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 232/7 = 33,14
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−13,14)² + (−0,1429)² + 11,86² + 24,86² + (−20,14)² + 5,857² + (−9,143)² = 1455
Стандартне відхилення
s = √(1455/6) = 15,57
Відповідь
s = 15,57
2.Описова статистика
Відповідь: z = 1,5
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (537,5 − 500)/25 = 1,5
Відповідь
z = 1,5
3.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 1,39
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 1·0,2 + 2·0,1 + 3·0,35 + 4·0,3 + 5·0,05 = 2,9
Середнє квадратів
E(X²) = 1·0,2 + 4·0,1 + 9·0,35 + 16·0,3 + 25·0,05 = 9,8
Дисперсія
Var(X) = 9,8 − 2,9² = 1,39
Відповідь
Var(X) = 1,39
4.Імовірність
Відповідь: σY = 0,7433
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 1,7, Var(X) = 2,21, σX = 1,487
Лінійна зміна
σY = |0,5|·1,487 = 0,7433
Відповідь
σY = 0,7433
Середнє таки зсувається: E(Y) = 0,5·1,7 + 5 = 5,85.
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,1587
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 1360 kg, σT = 12·√16 = 48 kg
Стандартизуйте
z = (1312 − 1360)/48 = −1
Імовірність
P = Φ(−1) = 0,1587
Відповідь
P = 0,1587
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 77,82 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Назад до x
x = 65 + 1,282·10 = 77,82 балів
Відповідь
x = 77,82 балів
7.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 3,574
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(25/25) = 1,191
Нова похибка
E₂ = 3·1,191 = 3,574
Відповідь
E₂ = 3,574
8.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 1624
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Виразіть n
n = 1,645²·0,4·0,6/0,02² = 1624
Округліть угору
n = 1624
Відповідь
n = 1624
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 1
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартна похибка середньої різниці
SE = 6,2/√16 = 1,55
Статистика критерію
t = 1,55/1,55 = 1
Відповідь
t = 1
При df = 15 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,131; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: L = 118
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,96·10/√81 = 2,178
Межа інтервалу
L = 120,2 − 2,178 = 118
Відповідь
L = 118
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,8937
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 227 − 15·82/5 = −19
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1390 − 82²/5 = 45,2
Коефіцієнт кореляції
r = −19/√(10·45,2) = −0,8937
Відповідь
r = −0,8937
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 22,15
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 108/5 = 21,6
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −11
Лінія регресії
b = −11/10 = −1,1
a = 21,6 − (−1,1)·3 = 24,9
ŷ = 24,9 − 1,1·x
Прогноз
ŷ = 24,9 + (−1,1)·2,5 = 22,15
Відповідь
ŷ = 22,15
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1