Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня
404244464850525456

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 47, 43, 54, 56, 40.

n = 5
s =
2.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень менша за 103,2?

μ = 100σ = 8x = 103,2
P =
3.ІмовірністьСередня
P(принаймні одна шістка) = ??1?2?3?4?5?6P(шістка) = 1/6 за кожного кидка

Правильний кубик кидають 6 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 6
P =
4.ІмовірністьСкладна
n = 9, p = 0,6: P(X = 5) = ?k0123456789

Тест має 9 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,6, незалежно. Яка ймовірність P рівно 5 правильних відповідей?

n = 9p = 0,6k = 5
P =
5.Нормальний розподілСередня
22,733,2P = ?

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 22,7 і 33,2 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 32σ = 6x1 = 22,7x2 = 33,2
P =
6.Нормальний розподілСкладна
μ = 500x = ?5%

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 5 % значень (5-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 5%
x = h
7.Довірчі інтервалиСередня
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E95%

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 60 телефонів, середнє 77 h, відоме стандартне відхилення 3 h. Модель 2: 100 телефонів, середнє 88,5 h, відоме стандартне відхилення 14 h. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 77 hσ₁ = 3 hn₂ = 100x̄₂ = 88,5 hσ₂ = 14 h95%
верхня межа = h
8.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 36, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 399%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 36. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?

σ = 36E = 399%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −2,01102,011

Вибірка з 49 студентів має середній бал 56,86 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 56,86s = 20n = 49
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
σ = 15, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1? Стандартне відхилення — 15. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 15E = 190%
n =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy17541976217823872510127112xy20256080100

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy23844164485510541260xy510405060x = 11

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (11, 53). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(11, 53)
e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 6,892

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 240/5 = 48

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−1)² + (−5)² + 6² + 8² + (−8)² = 190

Стандартне відхилення

s = √(190/4) = 6,892

Відповідь

s = 6,892
2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,6554

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554

Відповідь

P = 0,6554
3.Імовірність

Відповідь: P = 0,6651

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Відповідь

P = 0,6651
4.Імовірність

Відповідь: P = 0,2508

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 5) = 126·0,65·0,44 = 126·0,07776·0,0256 = 0,2508

Відповідь

P = 0,2508
5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,5187

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (22,7 − 32)/6 = −1,55
z₂ = (33,2 − 32)/6 = 0,2

Площа між

P = Φ(0,2) − Φ(−1,55) = 0,5793 − 0,06057 = 0,5187

Відповідь

P = 0,5187
6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 434,2 h

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Назад до x

x = 500 + −1,645·40 = 434,2 h

Відповідь

x = 434,2 h
7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = −8,653 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 77 − 88,5 = −11,5

Стандартна похибка

SE = √(3²/60 + 14²/100) = 1,453

Похибка оцінки

E = 1,96·1,453 = 2,847

Інтервал

−11,5 ± 2,847 → [−14,35, −8,653]

Відповідь

верхня межа = −8,653 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 956

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·36/3)² = 955,6

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 956

Відповідь

n = 956
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,401

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 20/√49 = 20/7 = 2,857

Статистика критерію

t = (56,86 − 50)/2,857 = 2,401

Відповідь

t = 2,401
t0,025; df = 48 = 2,011

|t| > 2,011, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 609

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,645·15/1)² = 608,9

Округліть угору

n = 609

Відповідь

n = 609
11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9803

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 508/6 = 84,67

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 374
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2079

Коефіцієнт кореляції

r = 374/√(70·2079) = 0,9803

Відповідь

r = 0,9803
12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −4,81

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 292/6 = 48,67

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160

Лінія регресії

b = 160/70 = 2,286
a = 48,67 − 2,286·7 = 32,67
ŷ = 32,67 + 2,286·x

Прогнозоване значення

ŷ = 32,67 + 2,286·11 = 57,81

Залишок

e = 53 − 57,81 = −4,81

Відповідь

e = −4,81

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1