Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 14, 49, 42, 13, 41, 12.
n = 6
s =
2.Описова статистикаСкладна
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 56.
μ = 60σ = 8x = 56
z =
3.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,1, 0,3, 0,2, 0,3
Var(X) =
4.ІмовірністьСкладна
Тестують 11 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,1. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 11p = 0,1
P =
5.Нормальний розподілСередня
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 242,25 і 252,5 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 250σ = 5x1 = 242,25x2 = 252,5
P =
6.Нормальний розподілСкладна
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 95 % значень (95-й процентиль).
μ = 500σ = 40P = 95%
x = h
7.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 25 елементів має середнє 36,5 і стандартне відхилення s = 10,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 25x̄ = 36,5s = 10,599%t(24) = 2,797
нижня межа =
8.Довірчі інтервалиСкладна
Діаметри 10 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 5,4 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 9 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 2,7 і 2,5 % — вище від 19,023.
n = 10s = 5,4 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 36 студентів має середній бал 199,1 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 199,1s = 4n = 36
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 100 вимірювань має середнє 51. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 10. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 51σ = 10n = 10095%
L =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (5, 14). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(5, 14)
e =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 17,21
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 171/6 = 28,5
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−14,5)² + 20,5² + 13,5² + (−15,5)² + 12,5² + (−16,5)² = 1482
Стандартне відхилення
s = √(1482/5) = 17,21
Відповідь
s = 17,21
2.Описова статистика
Відповідь: z = −0,5
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (56 − 60)/8 = −0,5
Відповідь
z = −0,5
3.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 1,65
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,1 + 1·0,1 + 2·0,3 + 3·0,2 + 4·0,3 = 2,5
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,1 + 1·0,1 + 4·0,3 + 9·0,2 + 16·0,3 = 7,9
Дисперсія
Var(X) = 7,9 − 2,5² = 1,65
Відповідь
Var(X) = 1,65
4.Імовірність
Відповідь: P = 0,6974
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,911 = 0,3138
P(X = 1) = 11·0,1·0,910 = 0,3835
Додайте
P = 0,3138 + 0,3835 = 0,6974
Відповідь
P = 0,6974
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,6309
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (242,25 − 250)/5 = −1,55
z₂ = (252,5 − 250)/5 = 0,5
Площа між
P = Φ(0,5) − Φ(−1,55) = 0,6915 − 0,06057 = 0,6309
Відповідь
P = 0,6309
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 565,8 h
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
Назад до x
x = 500 + 1,645·40 = 565,8 h
Відповідь
x = 565,8 h
7.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 30,63
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 24, t = 2,797
Похибка оцінки
E = 2,797·10,5/√25 = 5,874
Інтервал
36,5 ± 5,874 → [30,63, 42,37]
Відповідь
нижня межа = 30,63
8.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 3,714 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 9·5,4² = 262,4
Межі для σ²
262,4/19,023 = 13,8
262,4/2,7 = 97,2
Межа для σ
σ = √13,8 = 3,714 µm
Відповідь
σ = 3,714 µm
95 % інтервал для σ: [3,714, 9,859] µm.
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −1,35
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667
Статистика критерію
t = (199,1 − 200)/0,6667 = −1,35
Відповідь
t = −1,35
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: L = 49,04
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,96·10/√100 = 1,96
Межа інтервалу
L = 51 − 1,96 = 49,04
Відповідь
L = 49,04
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,8
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 120/5 = 24
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16
Syy = Σ(y − ȳ)² = 32
Коефіцієнт детермінації
r² = −16²/(10·32) = 0,8
Відповідь
r² = 0,8
Близько 80% варіації y пояснюється прямою.
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −2,667
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 136/6 = 22,67
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 210
Лінія регресії
b = 210/70 = 3
a = 22,67 − 3·7 = 1,667
ŷ = 1,667 + 3·x
Прогнозоване значення
ŷ = 1,667 + 3·5 = 16,67
Залишок
e = 14 − 16,67 = −2,667
Відповідь
e = −2,667
Точка лежить нижче прямої.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1