Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня
20253035404550

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 33, 18, 28, 51, 19.

n = 5
s =
2.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 50. Знайдіть z-оцінку z для результату 575.

μ = 500σ = 50x = 575
z =
3.ІмовірністьСередня
xp(x)00,1510,220,330,35μ = 1,85

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,2, 0,3, 0,35
σ =
4.ІмовірністьСкладна
n = 12, p = 0,2: P(X = 5) = ?k0123456789101112

Тест має 12 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,2, незалежно. Яка ймовірність P рівно 5 правильних відповідей?

n = 12p = 0,2k = 5
P =
5.Нормальний розподілСередня
25,137,1P = ?

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 25,1 і 37,1 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 32σ = 6x1 = 25,1x2 = 37,1
P =
6.Нормальний розподілСкладна
235240245250255260265gверх 75%

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 75% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g75%
x = g
7.Довірчі інтервалиСередня
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E95%

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 100 телефонів, середнє 54,5 h, відоме стандартне відхилення 4 h. Модель 2: 60 телефонів, середнє 51,5 h, відоме стандартне відхилення 5 h. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 54,5 hσ₁ = 4 hn₂ = 60x̄₂ = 51,5 hσ₂ = 5 h95%
верхня межа = h
8.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 14, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,590%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 14. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?

σ = 14E = 2,590%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −2,06402,064

Вибірка з 25 студентів має середній бал 498,2 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498,2s = 10n = 25
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
μ₀x̄c

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 200 проти H₁: μ < 200 виконують на рівні α = 0.10 за вибіркою обсягом 100; стандартне відхилення відоме й дорівнює 20. Насправді середнє дорівнює 196. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 200μ = 196σ = 20n = 100α = 0,10
1 − β = %
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy167418812092221072411226131xy202580100120

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 126Σy = 597Σx² = 2716Σy² = 61655Σxy = 12930
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy149250353459569672xy246506070ŷ = 48

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 48?

n = 6ŷ = 48
x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 13,41

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 149/5 = 29,8

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 3,2² + (−11,8)² + (−1,8)² + 21,2² + (−10,8)² = 718,8

Стандартне відхилення

s = √(718,8/4) = 13,41

Відповідь

s = 13,41
2.Описова статистика

Відповідь: z = 1,5

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = (575 − 500)/50 = 1,5

Відповідь

z = 1,5
3.Імовірність

Відповідь: σ = 1,062

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,15 + 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,35 = 1,85

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,35 = 4,55

Дисперсія

Var(X) = 4,55 − 1,85² = 1,128
σ = √1,128 = 1,062

Відповідь

σ = 1,062
4.Імовірність

Відповідь: P = 0,05315

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 5) = 792·0,25·0,87 = 792·0,00032·0,2097 = 0,05315

Відповідь

P = 0,05315
5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6773

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (25,1 − 32)/6 = −1,15
z₂ = (37,1 − 32)/6 = 0,85

Площа між

P = Φ(0,85) − Φ(−1,15) = 0,8023 − 0,1251 = 0,6773

Відповідь

P = 0,6773
6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 246,7 g

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,25

z з таблиці

z ≈ −0,67

Назад до початкових одиниць

x = 250 − 0,67·5 = 246,7 g

Відповідь

x = 246,7 g
7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 4,488 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 54,5 − 51,5 = 3

Стандартна похибка

SE = √(4²/100 + 5²/60) = 0,7594

Похибка оцінки

E = 1,96·0,7594 = 1,488

Інтервал

3 ± 1,488 → [1,512, 4,488]

Відповідь

верхня межа = 4,488 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 85

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,645·14/2,5)² = 84,86

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 85

Відповідь

n = 85
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −0,9

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Статистика критерію

t = (498,2 − 500)/2 = −0,9

Відповідь

t = −0,9
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| < 2.064, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 76,36 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 20/√100 = 2
x̄c = 200 − 1,282·2 = 197,4

z при справжньому середньому

z = (197,4 − 196)/2 = 0,718

Потужність

потужність = P(Z < 0.718) = 76.36%
1 − β = 76,36%

Відповідь

1 − β = 76,36%
11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9895

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

Sxy = 12930 − 126·597/6 = 393
Sxx = 2716 − 126²/6 = 70
Syy = 61655 − 597²/6 = 2254

Коефіцієнт кореляції

r = 393/√(70·2254) = 0,9895

Відповідь

r = 0,9895
12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 1,403

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 352/6 = 58,67

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 89

Лінія регресії

b = 89/17,5 = 5,086
a = 58,67 − 5,086·3,5 = 40,87
ŷ = 40,87 + 5,086·x

Розв’яжіть щодо x

x = (48 − 40,87)/5,086 = 1,403

Відповідь

x = 1,403

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1