Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 14, 50, 22, 47, 15, 38, 41.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 40. Знайдіть z-оцінку z для результату 480.

μ = 500σ = 40x = 480

z =

3.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 8 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 8

P =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €20 з імовірністю 0,25 і €100 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €10€20: p = 0,25€100: p = 0,01

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,0681. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,0681

z =

6.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,02 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 15 елементів має середнє 90 і стандартне відхилення s = 1. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 15x̄ = 90s = 199%t(14) = 2,977

нижня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 95 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,025?

p = 0,5E = 0,02595%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 100 студентів має середній бал 503,5 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 503,5s = 12n = 100

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 81 вимірювань має середнє 202,8. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 10. Знайдіть нижню межу L 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 202,8σ = 10n = 8190%

L =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 48Σy = 311Σx² = 454Σy² = 16983Σxy = 2731

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 112?

n = 5ŷ = 112

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 15,15

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 227/7 = 32,43

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−18,43)² + 17,57² + (−10,43)² + 14,57² + (−17,43)² + 5,571² + 8,571² = 1378

Стандартне відхилення

s = √(1378/6) = 15,15

Відповідь

s = 15,15

2.Описова статистика

Відповідь: z = −0,5

Стандартизуйте

z = (480 − 500)/40 = −0,5

Відповідь

z = −0,5

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,7674

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Відповідь

P = 0,7674

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = −4 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 10 (p = 0,25), 90 (p = 0,01), −10 (p = 0,74)

Математичне сподівання

E(G) = 10·0,25 + 90·0,01 − 10·0,74 = −4 €

Відповідь

E(G) = −4 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,49

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,0681 = 0,9319

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9319 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,49

Відповідь

z = 1,49

6.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7611

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02828 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,02828 = −0,71

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,71) = 0,7611

Відповідь

P = 0,7611

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 89,23

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Похибка оцінки

E = 2,977·1/√15 = 0,7687

Інтервал

90 ± 0,7687 → [89,23, 90,77]

Відповідь

нижня межа = 89,23

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 1537

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,025² = 1537

Округліть угору

n = 1537

Відповідь

n = 1537

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,917

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2

Статистика критерію

t = (503,5 − 500)/1,2 = 2,917

Відповідь

t = 2,917

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 201

Похибка оцінки

E = 1,645·10/√81 = 1,828

Межа інтервалу

L = 202,8 − 1,828 = 201

Відповідь

L = 201

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9888

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 2731 − 48·311/6 = 243

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 16983 − 311²/6 = 862,8

Коефіцієнт кореляції

r = 243/√(70·862,8) = 0,9888

Відповідь

r = 0,9888

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 24,48

Середні

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 523/5 = 104,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 450

Лінія регресії

b = 450/90 = 5

a = 104,6 − 5·23 = −10,4

ŷ = −10,4 + 5·x

Розв’яжіть щодо x

x = (112 − (−10,4))/5 = 24,48

Відповідь

x = 24,48

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1