Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 10, 17, 10, 60, 48, 21, 41.
n = 7
s =
2.Описова статистикаСкладна
Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень менша за 84?
μ = 100σ = 20x = 84
P =
3.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 10 осіб? Порядок не має значення.
n = 10k = 3
N =
4.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €15 з імовірністю 0,2 і €100 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €5€15: p = 0,2€100: p = 0,01
E(G) = €
5.Нормальний розподілСередня
Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 57 і 85 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 65σ = 10x1 = 57x2 = 85
P =
6.Нормальний розподілСкладна
значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 90% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 178 cmσ = 7 cm90%
x = cm
7.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 16 елементів має середнє 72 і стандартне відхилення s = 14. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 16x̄ = 72s = 1490%t(15) = 1,753
верхня межа =
8.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 28. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?
σ = 28E = 2,595%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 64 студентів має середній бал 53,94 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 53,94s = 15n = 64
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
У випробуванні одужують 60 з 200 пацієнтів, які отримували лікування A, і 49 з 120 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 60n₁ = 200x₂ = 49n₂ = 120
z =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 6Σx = 33Σy = 394Σx² = 199Σy² = 26094Σxy = 2225
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (24,5, 95). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(24,5, 95)
e =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 19,97
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 207/7 = 29,57
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−19,57)² + (−12,57)² + (−19,57)² + 30,43² + 18,43² + (−8,571)² + 11,43² = 2394
Стандартне відхилення
s = √(2394/6) = 19,97
Відповідь
s = 19,97
2.Описова статистика
Відповідь: P = 0,2119
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −0,8
Таблиця нормального розподілу
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Відповідь
P = 0,2119
3.Імовірність
Відповідь: N = 120
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(10, 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120
Відповідь
N = 120
4.Імовірність
Відповідь: E(G) = −1 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 10 (p = 0,2), 95 (p = 0,01), −5 (p = 0,79)
Математичне сподівання
E(G) = 10·0,2 + 95·0,01 − 5·0,79 = −1 €
Відповідь
E(G) = −1 €
Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,7654
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (57 − 65)/10 = −0,8
z₂ = (85 − 65)/10 = 2
Площа між
P = Φ(2) − Φ(−0,8) = 0,9772 − 0,2119 = 0,7654
Відповідь
P = 0,7654
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 169 cm
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,1
z з таблиці
z ≈ −1,28
Назад до початкових одиниць
x = 178 − 1,28·7 = 169 cm
Відповідь
x = 169 cm
7.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 78,14
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 15, t = 1,753
Похибка оцінки
E = 1,753·14/√16 = 6,135
Інтервал
72 ± 6,135 → [65,86, 78,14]
Відповідь
верхня межа = 78,14
8.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 482
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·28/2,5)² = 481,9
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 482
Відповідь
n = 482
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 2,101
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875
Статистика критерію
t = (53,94 − 50)/1,875 = 2,101
Відповідь
t = 2,101
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = −1,98
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Вибіркові частки
p̂₁ = 60/200 = 0,3
p̂₂ = 49/120 = 0,4083
p̂ = 109/320 = 0,3406
Стандартна похибка за H₀
SE = √(0,3406·0,6594·(1/200 + 1/120)) = 0,05472
Статистика критерію
z = (0,3 − 0,4083)/0,05472 = −1,98
Відповідь
z = −1,98
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9319
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 2225 − 33·394/6 = 58
Sxx = 199 − 33²/6 = 17,5
Syy = 26094 − 394²/6 = 221,3
Коефіцієнт кореляції
r = 58/√(17,5·221,3) = 0,9319
Відповідь
r = 0,9319
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 2,75
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 372/5 = 74,4
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 357
Лінія регресії
b = 357/90 = 3,967
a = 74,4 − 3,967·20 = −4,933
ŷ = −4,933 + 3,967·x
Прогнозоване значення
ŷ = −4,933 + 3,967·24,5 = 92,25
Залишок
e = 95 − 92,25 = 2,75
Відповідь
e = 2,75
Точка лежить вище прямої.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1