Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 40, 27, 31, 58, 47, 54, 58.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 92,5?

μ = 100σ = 15x = 92,5

P =

3.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 5 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 5

P =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 7 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,7, незалежно. Яка ймовірність P рівно 1 правильних відповідей?

n = 7p = 0,7k = 1

P =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,9850. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9850

z =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 97,5 % значень (97,5-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 97,5%

x = cm

7.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 30 телефонів, середнє 110,5 h, відоме стандартне відхилення 4 h. Модель 2: 40 телефонів, середнє 111,5 h, відоме стандартне відхилення 17 h. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 110,5 hσ₁ = 4 hn₂ = 40x̄₂ = 111,5 hσ₂ = 17 h95%

нижня межа = h

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 11 ділянок, середній урожай 12 kg, стандартне відхилення 5,5 kg. Група ділянок 2: 6 ділянок, середнє 18,5 kg, стандартне відхилення 6,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 12s₁ = 5,5n₂ = 6x̄₂ = 18,5s₂ = 6,595%t(15) = 2,131

верхня межа = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 81 студентів має середній бал 69,22 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 69,22s = 20n = 81

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 36 вимірювань має середнє 197. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 15. Знайдіть нижню межу L 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 197σ = 15n = 3699%

L =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 110Σy = 463Σx² = 2460Σy² = 43895Σxy = 10378

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (21, 83). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(21, 83)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 12,7

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 315/7 = 45

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−5)² + (−18)² + (−14)² + 13² + 2² + 9² + 13² = 968

Стандартне відхилення

s = √(968/6) = 12,7

Відповідь

s = 12,7

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,6915

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Відповідь

P = 0,6915

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,5981

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Відповідь

P = 0,5981

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,003572

Біноміальна формула

P(X = 1) = 7·0,7¹·0,3⁶ = 7·0,7·0,000729 = 0,003572

Відповідь

P = 0,003572

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −2,17

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,9850 = 0,0150

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,0150 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −2,17

Відповідь

z = −2,17

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 191,7 cm

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Назад до x

x = 178 + 1,96·7 = 191,72 cm

Відповідь

x = 191,72 cm

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −6,459 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 110,5 − 111,5 = −1

Стандартна похибка

SE = √(4²/30 + 17²/40) = 2,785

Похибка оцінки

E = 1,96·2,785 = 5,459

Інтервал

−1 ± 5,459 → [−6,459, 4,459]

Відповідь

нижня межа = −6,459 h

Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.

8.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = −0,1705 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (10·5,5² + 5·6,5²)/15 = 34,25

s_p = 5,852

Похибка оцінки

E = 2,131·5,852·√(1/11 + 1/6) = 6,329

Інтервал

−6,5 ± 6,329 → [−12,83, −0,1705]

Відповідь

верхня межа = −0,1705 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,601

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

Статистика критерію

t = (69,22 − 75)/2,222 = −2,601

Відповідь

t = −2,601

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 190,6

Похибка оцінки

E = 2,576·15/√36 = 6,44

Межа інтервалу

L = 197 − 6,44 = 190,6

Відповідь

L = 190,6

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,95

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 10378 − 110·463/5 = 192

S_xx = 2460 − 110²/5 = 40

S_yy = 43895 − 463²/5 = 1021

Коефіцієнт кореляції

r = 192/√(40·1021) = 0,95

Відповідь

r = 0,95

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 2

Середні

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 486/6 = 81

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 232

Лінія регресії

b = 232/70 = 3,314

a = 81 − 3,314·21 = 11,4

ŷ = 11,4 + 3,314·x

Прогнозоване значення

ŷ = 11,4 + 3,314·21 = 81

Залишок

e = 83 − 81 = 2

Відповідь

e = 2

Точка лежить вище прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1