Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 45, 50, 24, 45, 55, 19.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень менша за 75?

μ = 60σ = 15x = 75

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,25, 0,3, 0,25

σ =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 5X + 20. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,1, 0,15, 0,2, 0,35Y = 5X + 20

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,1230. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,1230

z =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 80 % значень (80-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 80%

x = min

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 елементів має середнє 36 і стандартне відхилення s = 19. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 25x̄ = 36s = 1999%t(24) = 2,797

верхня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 90 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,05?

p = 0,5E = 0,0590%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 49 студентів має середній бал 203,3 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 203,3s = 8n = 49

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 16 вимірювань має середнє 73,4. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть верхню межу U 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 73,4σ = 5n = 1690%

U =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 25?

n = 5ŷ = 25

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 14,64

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 238/6 = 39,67

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 5,333² + 10,33² + (−15,67)² + 5,333² + 15,33² + (−20,67)² = 1071

Стандартне відхилення

s = √(1071/5) = 14,64

Відповідь

s = 14,64

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8413

Стандартизуйте

z = 1

Таблиця нормального розподілу

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

3.Імовірність

Відповідь: σ = 1,068

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,2 + 1·0,25 + 2·0,3 + 3·0,25 = 1,6

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,25 + 4·0,3 + 9·0,25 = 3,7

Дисперсія

Var(X) = 3,7 − 1,6² = 1,14

σ = √1,14 = 1,068

Відповідь

σ = 1,068

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 7,649

Розкид X

μ = 2,4, Var(X) = 2,34, σ_X = 1,53

Лінійна зміна

σ_Y = |5|·1,53 = 7,649

Відповідь

σ_Y = 7,649

Середнє таки зсувається: E(Y) = 5·2,4 + 20 = 32.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,16

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,1230 = 0,8770

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,8770 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,16

Відповідь

z = 1,16

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 37,05 min

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Назад до x

x = 32 + 0,8416·6 = 37,05 min

Відповідь

x = 37,05 min

7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 46,63

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 24, t = 2,797

Похибка оцінки

E = 2,797·19/√25 = 10,63

Інтервал

36 ± 10,63 → [25,37, 46,63]

Відповідь

верхня межа = 46,63

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 271

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,05² = 270,6

Округліть угору

n = 271

Відповідь

n = 271

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,888

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143

Статистика критерію

t = (203,3 − 200)/1,143 = 2,888

Відповідь

t = 2,888

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 75,46

Похибка оцінки

E = 1,645·5/√16 = 2,056

Межа інтервалу

U = 73,4 + 2,056 = 75,46

Відповідь

U = 75,46

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9852

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 445/6 = 74,17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 323

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1513

Коефіцієнт детермінації

r² = 323²/(70·1513) = 0,9852

Відповідь

r² = 0,9852

Близько 98,52% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 1,375

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 112/5 = 22,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16

Лінія регресії

b = −16/10 = −1,6

a = 22,4 − (−1,6)·3 = 27,2

ŷ = 27,2 − 1,6·x

Розв’яжіть щодо x

x = (25 − 27,2)/(−1,6) = 1,375

Відповідь

x = 1,375

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1