Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 36, 52, 38, 45, 25, 40, 40.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень більша за 108?

μ = 100σ = 20x = 108

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,3, 0,3, 0,1

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = −2X + 10. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,3, 0,35, 0,15Y = −2X + 10

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 93,25 і 130 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 100σ = 15x₁ = 93,25x₂ = 130

P =

6.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 30% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm30%

x = cm

7.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 100 телефонів, середнє 79 h, відоме стандартне відхилення 13 h. Модель 2: 100 телефонів, середнє 74,5 h, відоме стандартне відхилення 10 h. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 79 hσ₁ = 13 hn₂ = 100x̄₂ = 74,5 hσ₂ = 10 h90%

нижня межа = h

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 7 ділянок, середній урожай 63 kg, стандартне відхилення 7 kg. Група ділянок 2: 10 ділянок, середнє 64,5 kg, стандартне відхилення 7 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 63s₁ = 7n₂ = 10x̄₂ = 64,5s₂ = 795%t(15) = 2,131

верхня межа = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 49 студентів має середній бал 496,5 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 496,5s = 8n = 49

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1,5? Стандартне відхилення — 10. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 10E = 1,590%

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 30Σy = 52Σx² = 220Σy² = 648Σxy = 374

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 8,284

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 276/7 = 39,43

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−3,429)² + 12,57² + (−1,429)² + 5,571² + (−14,43)² + 0,5714² + 0,5714² = 411,7

Стандартне відхилення

s = √(411,7/6) = 8,284

Відповідь

s = 8,284

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,3446

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Відповідь

P = 0,3446

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 0,96

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,3 + 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,1 = 1,2

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,1 = 2,4

Дисперсія

Var(X) = 2,4 − 1,2² = 0,96

Відповідь

Var(X) = 0,96

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 19,47

Розкид X

μ = 24,5, Var(X) = 94,75, σ_X = 9,734

Лінійна зміна

σ_Y = |−2|·9,734 = 19,47

Відповідь

σ_Y = 19,47

Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·24,5 + 10 = −39.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6509

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (93,25 − 100)/15 = −0,45

z₂ = (130 − 100)/15 = 2

Площа між

P = Φ(2) − Φ(−0,45) = 0,9772 − 0,3264 = 0,6509

Відповідь

P = 0,6509

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 174,4 cm

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,3

z з таблиці

z ≈ −0,52

Назад до початкових одиниць

x = 178 − 0,52·7 = 174,4 cm

Відповідь

x = 174,4 cm

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 1,802 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 79 − 74,5 = 4,5

Стандартна похибка

SE = √(13²/100 + 10²/100) = 1,64

Похибка оцінки

E = 1,645·1,64 = 2,698

Інтервал

4,5 ± 2,698 → [1,802, 7,198]

Відповідь

нижня межа = 1,802 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

8.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 5,851 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (6·7² + 9·7²)/15 = 49

s_p = 7

Похибка оцінки

E = 2,131·7·√(1/7 + 1/10) = 7,351

Інтервал

−1,5 ± 7,351 → [−8,851, 5,851]

Відповідь

верхня межа = 5,851 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −3,063

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143

Статистика критерію

t = (496,5 − 500)/1,143 = −3,063

Відповідь

t = −3,063

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 121

Виразіть n

n = (1,645·10/1,5)² = 120,3

Округліть угору

n = 121

Відповідь

n = 121

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9468

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 374 − 30·52/5 = 62

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 648 − 52²/5 = 107,2

Коефіцієнт кореляції

r = 62/√(40·107,2) = 0,9468

Відповідь

r = 0,9468

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 20,05

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 110/5 = 22

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13

Лінія регресії

b = −13/10 = −1,3

a = 22 − (−1,3)·3 = 25,9

ŷ = 25,9 − 1,3·x

Прогноз

ŷ = 25,9 + (−1,3)·4,5 = 20,05

Відповідь

ŷ = 20,05

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1