Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 15, 11, 10, 22, 27, 50.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 48?

μ = 60σ = 15x = 48

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,15, 0,35, 0,3

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

Тестують 12 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,7. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 12p = 0,7

P =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 174,5 і 179,4 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x₁ = 174,5x₂ = 179,4

P =

6.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 70% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів70%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 50 телефонів, середнє 78,5 h, відоме стандартне відхилення 6 h. Модель 2: 50 телефонів, середнє 90 h, відоме стандартне відхилення 14 h. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 78,5 hσ₁ = 6 hn₂ = 50x̄₂ = 90 hσ₂ = 14 h99%

верхня межа = h

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 22. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2?

σ = 22E = 290%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 7 студентів, середній бал 28, стандартне відхилення 7. Група 2: 10 студентів, середній бал 17,2, стандартне відхилення 6. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 7x̄₁ = 28s₁ = 7n₂ = 10x̄₂ = 17,2s₂ = 6

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2? Стандартне відхилення — 15. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 15E = 295%

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 20?

n = 5ŷ = 20

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 14,98

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 135/6 = 22,5

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−7,5)² + (−11,5)² + (−12,5)² + (−0,5)² + 4,5² + 27,5² = 1122

Стандартне відхилення

s = √(1122/5) = 14,98

Відповідь

s = 14,98

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,7881

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Відповідь

P = 0,7881

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 1,188

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,2 + 2·0,15 + 3·0,35 + 4·0,3 = 2,75

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,15 + 9·0,35 + 16·0,3 = 8,75

Дисперсія

Var(X) = 8,75 − 2,75² = 1,188

Відповідь

Var(X) = 1,188

4.Імовірність

Відповідь: P = 1,541 × 10⁻⁵

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,3¹² = 5,314 × 10⁻⁷

P(X = 1) = 12·0,7·0,3¹¹ = 1,488 × 10⁻⁵

Додайте

P = 5,314 × 10⁻⁷ + 1,488 × 10⁻⁵ = 1,541 × 10⁻⁵

Відповідь

P = 1,541 × 10⁻⁵

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,2707

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (174,5 − 178)/7 = −0,5

z₂ = (179,4 − 178)/7 = 0,2

Площа між

P = Φ(0,2) − Φ(−0,5) = 0,5793 − 0,3085 = 0,2707

Відповідь

P = 0,2707

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 59,8 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,3

z з таблиці

z ≈ −0,52

Назад до початкових одиниць

x = 65 − 0,52·10 = 59,8 балів

Відповідь

x = 59,8 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = −5,951 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 78,5 − 90 = −11,5

Стандартна похибка

SE = √(6²/50 + 14²/50) = 2,154

Похибка оцінки

E = 2,576·2,154 = 5,549

Інтервал

−11,5 ± 5,549 → [−17,05, −5,951]

Відповідь

верхня межа = −5,951 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 328

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,645·22/2)² = 327,4

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 328

Відповідь

n = 328

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 3,414

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (6·7² + 9·6²)/15 = 41,2

s_p = 6,419

Стандартна похибка

SE = 6,419·√(1/7 + 1/10) = 3,163

Статистика критерію

t = (28 − 17,2)/3,163 = 3,414

Відповідь

t = 3,414

При df = 15 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,131; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 217

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,96·15/2)² = 216,1

Округліть угору

n = 217

Відповідь

n = 217

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,8654

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 85/5 = 17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 104

Коефіцієнт детермінації

r² = −30²/(10·104) = 0,8654

Відповідь

r² = 0,8654

Близько 86,54% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 8,872

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 72/5 = 14,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78

Лінія регресії

b = 78/40 = 1,95

a = 14,4 − 1,95·6 = 2,7

ŷ = 2,7 + 1,95·x

Розв’яжіть щодо x

x = (20 − 2,7)/1,95 = 8,872

Відповідь

x = 8,872

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1