Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 30, 19, 12, 23, 37, 17.
n = 6
s =
2.Описова статистикаСкладна
Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень менша за 82?
μ = 70σ = 8x = 82
P =
3.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 2 осіб із групи з 10 осіб? Порядок не має значення.
n = 10k = 2
N =
4.ІмовірністьСкладна
Тестують 12 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,7. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 12p = 0,7
P =
5.Нормальний розподілСередня
X нормальна із середнім 12 min і середнім квадратичним відхиленням 1,5 min; Y незалежна й нормальна із середнім 20 min і середнім квадратичним відхиленням 2 min. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 33,3 min. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 33,3 min
P =
6.Нормальний розподілСкладна
Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,05 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.
отвір: μ = 25,05 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 16 елементів має середнє 71,5 і стандартне відхилення s = 19. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 16x̄ = 71,5s = 1990%t(15) = 1,753
верхня межа =
8.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 13 ділянок, середній урожай 85 kg, стандартне відхилення 5,5 kg. Група ділянок 2: 18 ділянок, середнє 91 kg, стандартне відхилення 1 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
n₁ = 13x̄₁ = 85s₁ = 5,5n₂ = 18x̄₂ = 91s₂ = 195%t(29) = 2,045
E = kg
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 500; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 16. Випадкова вибірка з 64 спостережень має середнє 495,32. Перевірте H₀: μ = 500 проти H₁: μ < 500. Знайдіть p-значення p.
μ₀ = 500σ = 16n = 64x̄ = 495,32H₁: μ < μ₀
p =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
У випробуванні одужують 90 з 150 пацієнтів, які отримували лікування A, і 102 з 200 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 90n₁ = 150x₂ = 102n₂ = 200
z =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 6Σx = 48Σy = 515Σx² = 454Σy² = 46547Σxy = 4519
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 100?
n = 6ŷ = 100
x =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 9,143
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 138/6 = 23
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = 7² + (−4)² + (−11)² + 0² + 14² + (−6)² = 418
Стандартне відхилення
s = √(418/5) = 9,143
Відповідь
s = 9,143
2.Описова статистика
Відповідь: P = 0,9332
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1,5
Таблиця нормального розподілу
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Відповідь
P = 0,9332
3.Імовірність
Відповідь: N = 45
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45
Відповідь
N = 45
4.Імовірність
Відповідь: P = 1,541 × 10⁻⁵
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,312 = 5,314 × 10⁻⁷
P(X = 1) = 12·0,7·0,311 = 1,488 × 10⁻⁵
Додайте
P = 5,314 × 10⁻⁷ + 1,488 × 10⁻⁵ = 1,541 × 10⁻⁵
Відповідь
P = 1,541 × 10⁻⁵
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,3015
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Стандартизуйте
z = (33,3 − 32)/2,5 = 0,52
Верхній хвіст
P = 1 − Φ(0,52) = 1 − 0,6985 = 0,3015
Відповідь
P = 0,3015
6.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9772
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,05)/0,025 = −2
Імовірність
P = 1 − Φ(−2) = 0,9772
Відповідь
P = 0,9772
7.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 79,83
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 15, t = 1,753
Похибка оцінки
E = 1,753·19/√16 = 8,327
Інтервал
71,5 ± 8,327 → [63,17, 79,83]
Відповідь
верхня межа = 79,83
8.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 2,694 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (12·5,5² + 17·1²)/29 = 13,1
sp = 3,62
Похибка оцінки
E = 2,045·3,62·√(1/13 + 1/18) = 2,694
Відповідь
E = 2,694 kg
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: p = 0,009642
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерію
SE = σ/√n = 16/√64 = 2
z = (495,32 − 500)/2 = −2,34
Площа хвоста
Φ(2,34) = 0,9904
1 − Φ(2,34) = 0,0096
p-значення
p = 0,009642
Відповідь
p = 0,009642
p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = 1,674
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Вибіркові частки
p̂₁ = 90/150 = 0,6
p̂₂ = 102/200 = 0,51
p̂ = 192/350 = 0,5486
Стандартна похибка за H₀
SE = √(0,5486·0,4514·(1/150 + 1/200)) = 0,05375
Статистика критерію
z = (0,6 − 0,51)/0,05375 = 1,674
Відповідь
z = 1,674
|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9853
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 4519 − 48·515/6 = 399
Sxx = 454 − 48²/6 = 70
Syy = 46547 − 515²/6 = 2343
Коефіцієнт кореляції
r = 399/√(70·2343) = 0,9853
Відповідь
r = 0,9853
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 27,07
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 509/6 = 84,83
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 261
Лінія регресії
b = 261/70 = 3,729
a = 84,83 − 3,729·23 = −0,9238
ŷ = −0,9238 + 3,729·x
Розв’яжіть щодо x
x = (100 − (−0,9238))/3,729 = 27,07
Відповідь
x = 27,07
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1