Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 20, 36, 51, 28, 26, 46.
n = 6
s =
2.Описова статистикаСкладна
Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 60. Яка частка P значень більша за 410?
μ = 500σ = 60x = 410
P =
3.ІмовірністьСередня
У мішечку 3 червоних і 7 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
3 / 7
P =
4.ІмовірністьСкладна
Тест має 5 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,3, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?
n = 5p = 0,3k = 2
P =
5.Нормальний розподілСередня
Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 96,25 і 115 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 100σ = 15x1 = 96,25x2 = 115
P =
6.Нормальний розподілСкладна
бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 95% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 65 балівσ = 10 балів95%
x = балів
7.Довірчі інтервалиСередня
99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 36 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 2,2. Якою буде гранична похибка E₂ 90 % інтервалу за тими самими даними?
99%n₁ = 36E₁ = 2,290%
E₂ =
8.Довірчі інтервалиСкладна
Діаметри 10 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 9,4 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 9 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 2,7 і 2,5 % — вище від 19,023.
n = 10s = 9,4 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Порівнюють два методи навчання. Група 1: 7 студентів, середній бал 56,5, стандартне відхилення 4. Група 2: 7 студентів, середній бал 61,5, стандартне відхилення 3,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).
n₁ = 7x̄₁ = 56,5s₁ = 4n₂ = 7x̄₂ = 61,5s₂ = 3,5
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2,5? Стандартне відхилення — 8. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 8E = 2,595%
n =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 6Σx = 132Σy = 360Σx² = 2974Σy² = 23180Σxy = 8242
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 138?
n = 5ŷ = 138
x =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 12,1
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 207/6 = 34,5
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−14,5)² + 1,5² + 16,5² + (−6,5)² + (−8,5)² + 11,5² = 731,5
Стандартне відхилення
s = √(731,5/5) = 12,1
Відповідь
s = 12,1
2.Описова статистика
Відповідь: P = 0,9332
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −1,5
Таблиця нормального розподілу
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Відповідь
P = 0,9332
3.Імовірність
Відповідь: P = 0,06667
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 3/10 · 2/9 = 6/90 = 0,06667
Відповідь
P = 0,06667
4.Імовірність
Відповідь: P = 0,3087
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Біноміальна формула
P(X = 2) = 10·0,32·0,73 = 10·0,09·0,343 = 0,3087
Відповідь
P = 0,3087
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,4401
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (96,25 − 100)/15 = −0,25
z₂ = (115 − 100)/15 = 1
Площа між
P = Φ(1) − Φ(−0,25) = 0,8413 − 0,4013 = 0,4401
Відповідь
P = 0,4401
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 48,6 балів
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,05
z з таблиці
z ≈ −1,64
Назад до початкових одиниць
x = 65 − 1,64·10 = 48,6 балів
Відповідь
x = 48,6 балів
7.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 1,405
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(36/36) = 0,6386
Нова похибка
E₂ = 2,2·0,6386 = 1,405
Відповідь
E₂ = 1,405
8.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 6,466 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 9·9,4² = 795,2
Межі для σ²
795,2/19,023 = 41,8
795,2/2,7 = 294,5
Межа для σ
σ = √41,8 = 6,466 µm
Відповідь
σ = 6,466 µm
95 % інтервал для σ: [6,466, 17,16] µm.
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −2,489
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Об’єднана дисперсія
sp² = (6·4² + 6·3,5²)/12 = 14,13
sp = 3,758
Стандартна похибка
SE = 3,758·√(1/7 + 1/7) = 2,009
Статистика критерію
t = (56,5 − 61,5)/2,009 = −2,489
Відповідь
t = −2,489
При df = 12 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,179; |t| більше, тож H₀ відхиляється.
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 40
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (1,96·8/2,5)² = 39,34
Округліть угору
n = 40
Відповідь
n = 40
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9682
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 8242 − 132·360/6 = 322
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 23180 − 360²/6 = 1580
Коефіцієнт кореляції
r = 322/√(70·1580) = 0,9682
Відповідь
r = 0,9682
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 25,53
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 554/5 = 110,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 540
Лінія регресії
b = 540/90 = 6
a = 110,8 − 6·21 = −15,2
ŷ = −15,2 + 6·x
Розв’яжіть щодо x
x = (138 − (−15,2))/6 = 25,53
Відповідь
x = 25,53
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1