Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 37, 50, 40, 35, 59, 42, 23.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 5. Знайдіть z-оцінку z для результату 80.

μ = 70σ = 5x = 80

z =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

σ =

4.ІмовірністьСкладна

Тестують 12 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,2. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 12p = 0,2

P =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 174,5 і 186,75 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x₁ = 174,5x₂ = 186,75

P =

6.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 15% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів15%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 16 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −7,7 і стандартне відхилення 2,9. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 16d̄ = −7,7s_d = 2,995%t(15) = 2,131

нижня межа = mmHg

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 8 ділянок, середній урожай 88,5 kg, стандартне відхилення 2,5 kg. Група ділянок 2: 6 ділянок, середнє 95 kg, стандартне відхилення 6 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 88,5s₁ = 2,5n₂ = 6x̄₂ = 95s₂ = 690%t(12) = 1,782

верхня межа = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 студентів має середній бал 72,52 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72,52s = 4n = 25

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 200 проти H₁: μ < 200 виконують на рівні α = 0.10 за вибіркою обсягом 64; стандартне відхилення відоме й дорівнює 20. Насправді середнє дорівнює 192.5. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 200μ = 192,5σ = 20n = 64α = 0,10

1 − β = %

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3,5, 64). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 64)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 11,42

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 286/7 = 40,86

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−3,857)² + 9,143² + (−0,8571)² + (−5,857)² + 18,14² + 1,143² + (−17,86)² = 782,9

Стандартне відхилення

s = √(782,9/6) = 11,42

Відповідь

s = 11,42

2.Описова статистика

Відповідь: z = 2

Стандартизуйте

z = (80 − 70)/5 = 2

Відповідь

z = 2

3.Імовірність

Відповідь: σ = 0,8367

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Дисперсія

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

σ = √0,7 = 0,8367

Відповідь

σ = 0,8367

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,2749

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,8¹² = 0,06872

P(X = 1) = 12·0,2·0,8¹¹ = 0,2062

Додайте

P = 0,06872 + 0,2062 = 0,2749

Відповідь

P = 0,2749

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,5858

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (174,5 − 178)/7 = −0,5

z₂ = (186,75 − 178)/7 = 1,25

Площа між

P = Φ(1,25) − Φ(−0,5) = 0,8944 − 0,3085 = 0,5858

Відповідь

P = 0,5858

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 75,4 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,85

z з таблиці

z ≈ 1,04

Назад до початкових одиниць

x = 65 + 1,04·10 = 75,4 балів

Відповідь

x = 75,4 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −9,245 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 15, t = 2,131

Похибка оцінки

E = 2,131·2,9/√16 = 1,545

Інтервал

−7,7 ± 1,545 → [−9,245, −6,155]

Відповідь

нижня межа = −9,245 mmHg

8.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = −2,344 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (7·2,5² + 5·6²)/12 = 18,65

s_p = 4,318

Похибка оцінки

E = 1,782·4,318·√(1/8 + 1/6) = 4,156

Інтервал

−6,5 ± 4,156 → [−10,66, −2,344]

Відповідь

верхня межа = −2,344 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −3,1

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Статистика критерію

t = (72,52 − 75)/0,8 = −3,1

Відповідь

t = −3,1

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 95,71 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 20/√64 = 2,5

x̄_c = 200 − 1,282·2,5 = 196,8

z при справжньому середньому

z = (196,8 − 192,5)/2,5 = 1,718

Потужність

потужність = P(Z < 1.718) = 95.71%

1 − β = 95,71%

Відповідь

1 − β = 95,71%

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9877

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 130/5 = 26

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 656

Коефіцієнт кореляції

r = 160/√(40·656) = 0,9877

Відповідь

r = 0,9877

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −5,15

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 390/5 = 78

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 59

Лінія регресії

b = 59/10 = 5,9

a = 78 − 5,9·5 = 48,5

ŷ = 48,5 + 5,9·x

Прогнозоване значення

ŷ = 48,5 + 5,9·3,5 = 69,15

Залишок

e = 64 − 69,15 = −5,15

Відповідь

e = −5,15

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1