Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 21, 31, 58, 58, 20, 50, 57.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 5. Знайдіть z-оцінку z для результату 66.

μ = 70σ = 5x = 66

z =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,25, 0,2, 0,35

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 2X + 5. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,35, 0,35, 0,15Y = 2X + 5

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Маси болти незалежні та нормальні із середнім 40 g і середнім квадратичним відхиленням 1,2 g. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 9 з них перевищує 367,2 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 9> 367,2 g

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 99 % значень (99-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 99%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 6 елементів має середнє 61,5 і стандартне відхилення s = 13,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 6x̄ = 61,5s = 13,599%t(5) = 4,032

E =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 21 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 7,6 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 20 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 9,591 і 2,5 % — вище від 34,17.

n = 21s = 7,6 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 100 студентів має середній бал 102,3 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 102,3s = 8n = 100

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 2 одиниць із потужністю 95 %. Стандартне відхилення 12. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,05потужність = 95%δ = 2σ = 12z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 21Σy = 231Σx² = 91Σy² = 9041Σxy = 857

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (21, 90). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(21, 90)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 17,54

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 295/7 = 42,14

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−21,14)² + (−11,14)² + 15,86² + 15,86² + (−22,14)² + 7,857² + 14,86² = 1847

Стандартне відхилення

s = √(1847/6) = 17,54

Відповідь

s = 17,54

2.Описова статистика

Відповідь: z = −0,8

Стандартизуйте

z = (66 − 70)/5 = −0,8

Відповідь

z = −0,8

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 131

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 10·0,2 + 20·0,25 + 30·0,2 + 40·0,35 = 27

Середнє квадратів

E(X²) = 100·0,2 + 400·0,25 + 900·0,2 + 1600·0,35 = 860

Дисперсія

Var(X) = 860 − 27² = 131

Відповідь

Var(X) = 131

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 3,688

Розкид X

μ = 3, Var(X) = 3,4, σ_X = 1,844

Лінійна зміна

σ_Y = |2|·1,844 = 3,688

Відповідь

σ_Y = 3,688

Середнє таки зсувається: E(Y) = 2·3 + 5 = 11.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,02275

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 360 g, σ_T = 1,2·√9 = 3,6 g

Стандартизуйте

z = (367,2 − 360)/3,6 = 2

Імовірність

P = 1 − Φ(2) = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 134,9 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Назад до x

x = 100 + 2,326·15 = 134,89 балів

Відповідь

x = 134,89 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 22,22

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Похибка оцінки

E = 4,032·13,5/√6 = 22,22

Відповідь

E = 22,22

8.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 5,814 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 20·7,6² = 1155

Межі для σ²

1155/34,17 = 33,81

1155/9,591 = 120,4

Межа для σ

σ = √33,81 = 5,814 µm

Відповідь

σ = 5,814 µm

95 % інтервал для σ: [5,814, 10,97] µm.

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,875

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Статистика критерію

t = (102,3 − 100)/0,8 = 2,875

Відповідь

t = 2,875

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 390

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((1,645 + 1,645)·12/2)² = 389,7

Округліть угору

n = 390

Відповідь

n = 390

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9546

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 857 − 21·231/6 = 48,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 9041 − 231²/6 = 147,5

Коефіцієнт кореляції

r = 48,5/√(17,5·147,5) = 0,9546

Відповідь

r = 0,9546

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 3,452

Середні

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 575/6 = 95,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 325

Лінія регресії

b = 325/70 = 4,643

a = 95,83 − 4,643·23 = −10,95

ŷ = −10,95 + 4,643·x

Прогнозоване значення

ŷ = −10,95 + 4,643·21 = 86,55

Залишок

e = 90 − 86,55 = 3,452

Відповідь

e = 3,452

Точка лежить вище прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1