Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 32, 19, 12, 55, 22.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 60. Яка частка P значень менша за 524?

μ = 500σ = 60x = 524

P =

3.ІмовірністьСередня

У мішечку 8 червоних і 3 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

8 / 3

P =

4.ІмовірністьСкладна

Тестують 9 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,7. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 9p = 0,7

P =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 29 і 38 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 32σ = 6x₁ = 29x₂ = 38

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 10 % значень (10-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

7.Довірчі інтервалиСередня

99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 100 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 4,2. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 200 спостережень?

99%n₁ = 100E₁ = 4,2n₂ = 200

E₂ =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 11 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 3 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 10 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 3,247 і 2,5 % — вище від 20,483.

n = 11s = 3 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 100 студентів має середній бал 77,55 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 77,55s = 15n = 100

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 140 з 200 пацієнтів, які отримували лікування A, і 145 з 250 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 140n₁ = 200x₂ = 145n₂ = 250

z =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 6,5.

n = 5x = 6,5

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 16,72

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 140/5 = 28

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 4² + (−9)² + (−16)² + 27² + (−6)² = 1118

Стандартне відхилення

s = √(1118/4) = 16,72

Відповідь

s = 16,72

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,6554

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Відповідь

P = 0,6554

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,5091

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 8/11 · 7/10 = 56/110 = 0,5091

Відповідь

P = 0,5091

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,000433

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,3⁹ = 1,968 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 9·0,7·0,3⁸ = 0,0004133

Додайте

P = 1,968 × 10⁻⁵ + 0,0004133 = 0,000433

Відповідь

P = 0,000433

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,5328

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (29 − 32)/6 = −0,5

z₂ = (38 − 32)/6 = 1

Площа між

P = Φ(1) − Φ(−0,5) = 0,8413 − 0,3085 = 0,5328

Відповідь

P = 0,5328

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 169 cm

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Назад до x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

Відповідь

x = 169,03 cm

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 2,97

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(100/200) = 0,7071

Нова похибка

E₂ = 4,2·0,7071 = 2,97

Відповідь

E₂ = 2,97

8.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 2,096 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 10·3² = 90

Межі для σ²

90/20,483 = 4,394

90/3,247 = 27,72

Межа для σ

σ = √4,394 = 2,096 µm

Відповідь

σ = 2,096 µm

95 % інтервал для σ: [2,096, 5,265] µm.

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,7

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Статистика критерію

t = (77,55 − 75)/1,5 = 1,7

Відповідь

t = 1,7

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 2,625

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Вибіркові частки

p̂₁ = 140/200 = 0,7

p̂₂ = 145/250 = 0,58

p̂ = 285/450 = 0,6333

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,6333·0,3667·(1/200 + 1/250)) = 0,04572

Статистика критерію

z = (0,7 − 0,58)/0,04572 = 2,625

Відповідь

z = 2,625

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9935

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 77/6 = 12,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 87

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 108,8

Коефіцієнт детермінації

r² = 87²/(70·108,8) = 0,9935

Відповідь

r² = 0,9935

Близько 99,35% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 57,85

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 266/5 = 53,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 31

Лінія регресії

b = 31/10 = 3,1

a = 53,2 − 3,1·5 = 37,7

ŷ = 37,7 + 3,1·x

Прогноз

ŷ = 37,7 + 3,1·6,5 = 57,85

Відповідь

ŷ = 57,85

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1