Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 22, 56, 28, 33, 54, 14.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень менша за 66?

μ = 60σ = 10x = 66

P =

3.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 14 осіб? Порядок не має значення.

n = 14k = 3

N =

4.ІмовірністьСкладна

Тестують 6 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,4. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 6p = 0,4

P =

5.Нормальний розподілСередня

Маси ящики незалежні та нормальні із середнім 12 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,8 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 12 з них перевищує 142,6 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 12> 142,6 kg

P =

6.Нормальний розподілСкладна

строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 40% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 500 hσ = 40 h40%

x = h

7.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 20 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 6,2 і стандартне відхилення 3,7. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 20d̄ = 6,2s_d = 3,795%t(19) = 2,093

верхня межа = mmHg

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 29. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 4?

σ = 29E = 499%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 120; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 4. Випадкова вибірка з 64 спостережень має середнє 119,46. Перевірте H₀: μ = 120 проти H₁: μ < 120. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 120σ = 4n = 64x̄ = 119,46H₁: μ < μ₀

p =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 5 одиниць із потужністю 95 %. Стандартне відхилення 14. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,05потужність = 95%δ = 5σ = 14z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 21Σy = 85Σx² = 91Σy² = 1353Σxy = 249

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 5,5.

n = 5x = 5,5

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 17,11

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 207/6 = 34,5

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−12,5)² + 21,5² + (−6,5)² + (−1,5)² + 19,5² + (−20,5)² = 1464

Стандартне відхилення

s = √(1464/5) = 17,11

Відповідь

s = 17,11

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,7257

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Відповідь

P = 0,7257

3.Імовірність

Відповідь: N = 364

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(14, 3) = (14·13·12)/(3·2·1) = 364

Відповідь

N = 364

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,2333

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,6⁶ = 0,04666

P(X = 1) = 6·0,4·0,6⁵ = 0,1866

Додайте

P = 0,04666 + 0,1866 = 0,2333

Відповідь

P = 0,2333

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,695

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 144 kg, σ_T = 0,8·√12 = 2,771 kg

Стандартизуйте

z = (142,6 − 144)/2,771 = −0,51

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,51) = 0,695

Відповідь

P = 0,695

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 490 h

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,4

z з таблиці

z ≈ −0,25

Назад до початкових одиниць

x = 500 − 0,25·40 = 490 h

Відповідь

x = 490 h

7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 7,932 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 19, t = 2,093

Похибка оцінки

E = 2,093·3,7/√20 = 1,732

Інтервал

6,2 ± 1,732 → [4,468, 7,932]

Відповідь

верхня межа = 7,932 mmHg

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 349

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·29/4)² = 348,8

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 349

Відповідь

n = 349

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,1401

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 4/√64 = 0,5

z = (119,46 − 120)/0,5 = −1,08

Площа хвоста

Φ(1,08) = 0,8599

1 − Φ(1,08) = 0,1401

p-значення

p = 0,1401

Відповідь

p = 0,1401

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 85

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((1,645 + 1,645)·14/5)² = 84,86

Округліть угору

n = 85

Відповідь

n = 85

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,9503

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 249 − 21·85/6 = −48,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 1353 − 85²/6 = 148,8

Коефіцієнт кореляції

r = −48,5/√(17,5·148,8) = −0,9503

Відповідь

r = −0,9503

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 69,45

Середні

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 312/5 = 62,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 47

Лінія регресії

b = 47/10 = 4,7

a = 62,4 − 4,7·4 = 43,6

ŷ = 43,6 + 4,7·x

Прогноз

ŷ = 43,6 + 4,7·5,5 = 69,45

Відповідь

ŷ = 69,45

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1