Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 50, 42, 60, 38, 50, 53, 32.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень більша за 186?

μ = 170σ = 8x = 186

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,35, 0,2, 0,15, 0,2

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €3. Ви виграєте €9 з імовірністю 0,2 і €60 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €3€9: p = 0,2€60: p = 0,01

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9342. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9342

z =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 95 % значень (95-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 95%

x = min

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 7 елементів має середнє 32 і стандартне відхилення s = 19. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 7x̄ = 32s = 1999%t(6) = 3,707

нижня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 12. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?

σ = 12E = 1,599%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 100 деталей має середню довжину 53 mm, відоме стандартне відхилення лінії 19 mm. Лінія 2: вибірка з 100 деталей має середнє 47,1 mm, відоме стандартне відхилення 9 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 100x̄₁ = 53 mmσ₁ = 19 mmn₂ = 100x̄₂ = 47,1 mmσ₂ = 9 mm

z =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 80 проти H₁: μ < 80 виконують на рівні α = 0.05 за вибіркою обсягом 64; стандартне відхилення відоме й дорівнює 12. Насправді середнє дорівнює 77. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 80μ = 77σ = 12n = 64α = 0,05

1 − β = %

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 27Σy = 419Σx² = 139Σy² = 29887Σxy = 1989

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (20,5, 63). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(20,5, 63)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 9,589

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 325/7 = 46,43

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 3,571² + (−4,429)² + 13,57² + (−8,429)² + 3,571² + 6,571² + (−14,43)² = 551,7

Стандартне відхилення

s = √(551,7/6) = 9,589

Відповідь

s = 9,589

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = 2

Таблиця нормального розподілу

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 1,7

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,1 + 2·0,35 + 3·0,2 + 4·0,15 + 5·0,2 = 3

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,35 + 9·0,2 + 16·0,15 + 25·0,2 = 10,7

Дисперсія

Var(X) = 10,7 − 3² = 1,7

Відповідь

Var(X) = 1,7

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = −0,6 €

Чисті результати

G: 6 (p = 0,2), 57 (p = 0,01), −3 (p = 0,79)

Математичне сподівання

E(G) = 6·0,2 + 57·0,01 − 3·0,79 = −0,6 €

Відповідь

E(G) = −0,6 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,84

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,9342)/2 = 0,9671

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9671 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,84

Відповідь

z = 1,84

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 41,87 min

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Назад до x

x = 32 + 1,645·6 = 41,87 min

Відповідь

x = 41,87 min

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 5,379

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 6, t = 3,707

Похибка оцінки

E = 3,707·19/√7 = 26,62

Інтервал

32 ± 26,62 → [5,379, 58,62]

Відповідь

нижня межа = 5,379

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 425

Виразіть n

n = (2,576·12/1,5)² = 424,7

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 425

Відповідь

n = 425

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 2,806

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(19²/100 + 9²/100) = √4,42 = 2,102

Статистика критерію

z = (53 − 47,1)/2,102 = 2,806

Відповідь

z = 2,806

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 63,87 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 12/√64 = 1,5

x̄_c = 80 − 1,645·1,5 = 77,53

z при справжньому середньому

z = (77,53 − 77)/1,5 = 0,355

Потужність

потужність = P(Z < 0.355) = 63.87%

1 − β = 63,87%

Відповідь

1 − β = 63,87%

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9882

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 1989 − 27·419/6 = 103,5

S_xx = 139 − 27²/6 = 17,5

S_yy = 29887 − 419²/6 = 626,8

Коефіцієнт кореляції

r = 103,5/√(17,5·626,8) = 0,9882

Відповідь

r = 0,9882

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 1,65

Середні

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 338/5 = 67,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 375

Лінія регресії

b = 375/90 = 4,167

a = 67,6 − 4,167·22 = −24,07

ŷ = −24,07 + 4,167·x

Прогнозоване значення

ŷ = −24,07 + 4,167·20,5 = 61,35

Залишок

e = 63 − 61,35 = 1,65

Відповідь

e = 1,65

Точка лежить вище прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1