Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 47, 33, 17, 39, 11.
n = 5
s =
2.Описова статистикаСкладна
Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень менша за 45?
μ = 60σ = 15x = 45
P =
3.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,2, 0,25, 0,35
Var(X) =
4.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €30 з імовірністю 0,2 і €100 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €10€30: p = 0,2€100: p = 0,02
E(G) = €
5.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,3616. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,3616
z =
6.Нормальний розподілСкладна
значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 90% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 178 cmσ = 7 cm90%
x = cm
7.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 80 телефонів, середнє 40 h, відоме стандартне відхилення 15 h. Модель 2: 50 телефонів, середнє 52,5 h, відоме стандартне відхилення 13 h. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
n₁ = 80x̄₁ = 40 hσ₁ = 15 hn₂ = 50x̄₂ = 52,5 hσ₂ = 13 h99%
верхня межа = h
8.Довірчі інтервалиСкладна
Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 95 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,04?
p = 0,5E = 0,0495%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 49 студентів має середній бал 97,43 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 97,43s = 10n = 49
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 1 одиниць із потужністю 90 %. Стандартне відхилення 6. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
α = 0,01потужність = 90%δ = 1σ = 6zα = 2,326zβ = 1,282
n =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 5Σx = 30Σy = 254Σx² = 220Σy² = 13310Σxy = 1646
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (6,5, 66). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(6,5, 66)
e =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 15,06
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 147/5 = 29,4
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = 17,6² + 3,6² + (−12,4)² + 9,6² + (−18,4)² = 907,2
Стандартне відхилення
s = √(907,2/4) = 15,06
Відповідь
s = 15,06
2.Описова статистика
Відповідь: P = 0,1587
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −1
Таблиця нормального розподілу
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Відповідь
P = 0,1587
3.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 5,15
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,2 + 2·0,2 + 4·0,25 + 6·0,35 = 3,5
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,2 + 4·0,2 + 16·0,25 + 36·0,35 = 17,4
Дисперсія
Var(X) = 17,4 − 3,5² = 5,15
Відповідь
Var(X) = 5,15
4.Імовірність
Відповідь: E(G) = −2 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 20 (p = 0,2), 90 (p = 0,02), −10 (p = 0,78)
Математичне сподівання
E(G) = 20·0,2 + 90·0,02 − 10·0,78 = −2 €
Відповідь
E(G) = −2 €
Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.
5.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 0,47
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,3616)/2 = 0,6808
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,6808 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 0,47
Відповідь
z = 0,47
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 169 cm
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,1
z з таблиці
z ≈ −1,28
Назад до початкових одиниць
x = 178 − 1,28·7 = 169 cm
Відповідь
x = 169 cm
7.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = −6,09 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 40 − 52,5 = −12,5
Стандартна похибка
SE = √(15²/80 + 13²/50) = 2,488
Похибка оцінки
E = 2,576·2,488 = 6,41
Інтервал
−12,5 ± 6,41 → [−18,91, −6,09]
Відповідь
верхня межа = −6,09 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
8.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 601
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Виразіть n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,04² = 600,2
Округліть угору
n = 601
Відповідь
n = 601
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −1,799
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429
Статистика критерію
t = (97,43 − 100)/1,429 = −1,799
Відповідь
t = −1,799
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 469
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((2,326 + 1,282)·6/1)² = 468,6
Округліть угору
n = 469
Відповідь
n = 469
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9564
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 1646 − 30·254/5 = 122
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 13310 − 254²/5 = 406,8
Коефіцієнт кореляції
r = 122/√(40·406,8) = 0,9564
Відповідь
r = 0,9564
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 2,643
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 357/6 = 59,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 67,5
Лінія регресії
b = 67,5/17,5 = 3,857
a = 59,5 − 3,857·5,5 = 38,29
ŷ = 38,29 + 3,857·x
Прогнозоване значення
ŷ = 38,29 + 3,857·6,5 = 63,36
Залишок
e = 66 − 63,36 = 2,643
Відповідь
e = 2,643
Точка лежить вище прямої.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1