Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 23, 34, 16, 52, 43, 54, 22.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень більша за 120?

μ = 100σ = 10x = 120

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,25, 0,15, 0,25

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €20 з імовірністю 0,3 і €100 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €10€20: p = 0,3€100: p = 0,05

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,4843. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,4843

z =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 75 % значень (75-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 75%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 10 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 1,4 і стандартне відхилення 3,6. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 10d̄ = 1,4s_d = 3,695%t(9) = 2,262

верхня межа = mmHg

8.Довірчі інтервалиСкладна

Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 90 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,02?

p = 0,5E = 0,0290%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

8 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 0,94, стандартне відхилення різниць 1,9. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 8d̄ = 0,94s_d = 1,9

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1? Стандартне відхилення — 4. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 4E = 190%

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 15Σy = 169Σx² = 55Σy² = 5843Σxy = 539

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3,5, 51). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 51)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 15,21

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 244/7 = 34,86

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−11,86)² + (−0,8571)² + (−18,86)² + 17,14² + 8,143² + 19,14² + (−12,86)² = 1389

Стандартне відхилення

s = √(1389/6) = 15,21

Відповідь

s = 15,21

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = 2

Таблиця нормального розподілу

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 141

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 10·0,35 + 20·0,25 + 30·0,15 + 40·0,25 = 23

Середнє квадратів

E(X²) = 100·0,35 + 400·0,25 + 900·0,15 + 1600·0,25 = 670

Дисперсія

Var(X) = 670 − 23² = 141

Відповідь

Var(X) = 141

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = 1 €

Чисті результати

G: 10 (p = 0,3), 90 (p = 0,05), −10 (p = 0,65)

Математичне сподівання

E(G) = 10·0,3 + 90·0,05 − 10·0,65 = 1 €

Відповідь

E(G) = 1 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,65

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,4843)/2 = 0,7422

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,7422 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,65

Відповідь

z = 0,65

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 110,1 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Назад до x

x = 100 + 0,6745·15 = 110,12 балів

Відповідь

x = 110,12 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 3,975 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 9, t = 2,262

Похибка оцінки

E = 2,262·3,6/√10 = 2,575

Інтервал

1,4 ± 2,575 → [−1,175, 3,975]

Відповідь

верхня межа = 3,975 mmHg

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 1692

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,02² = 1691

Округліть угору

n = 1692

Відповідь

n = 1692

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,399

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 1,9/√8 = 0,6718

Статистика критерію

t = 0,94/0,6718 = 1,399

Відповідь

t = 1,399

При df = 7 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,365; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 44

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,645·4/1)² = 43,3

Округліть угору

n = 44

Відповідь

n = 44

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,8848

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 539 − 15·169/5 = 32

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 5843 − 169²/5 = 130,8

Коефіцієнт кореляції

r = 32/√(10·130,8) = 0,8848

Відповідь

r = 0,8848

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −2,943

Середні

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 360/6 = 60

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106

Лінія регресії

b = 106/17,5 = 6,057

a = 60 − 6,057·4,5 = 32,74

ŷ = 32,74 + 6,057·x

Прогнозоване значення

ŷ = 32,74 + 6,057·3,5 = 53,94

Залишок

e = 51 − 53,94 = −2,943

Відповідь

e = −2,943

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1