Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 32, 21, 47, 32, 51.
n = 5
s =
2.Описова статистикаСкладна
Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень більша за 72?
μ = 60σ = 12x = 72
P =
3.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,15, 0,3, 0,2
Var(X) =
4.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €20 з імовірністю 0,3 і €100 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €5€20: p = 0,3€100: p = 0,01
E(G) = €
5.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,2033. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,2033
z =
6.Нормальний розподілСкладна
Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 90 % значень (90-й процентиль).
μ = 65σ = 10P = 90%
x = балів
7.Довірчі інтервалиСередня
95 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 50 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 11,4. Якою буде гранична похибка E₂ 90 % інтервалу за тими самими даними?
95%n₁ = 50E₁ = 11,490%
E₂ =
8.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 24. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?
σ = 24E = 1,590%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
12 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 1,57, стандартне відхилення різниць 1,6. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μd = 0.
n = 12d̄ = 1,57sd = 1,6
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 16 вимірювань має середнє 58,7. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 12. Знайдіть верхню межу U 90 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 58,7σ = 12n = 1690%
U =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (5, 15). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(5, 15)
e =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 12,26
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 183/5 = 36,6
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−4,6)² + (−15,6)² + 10,4² + (−4,6)² + 14,4² = 601,2
Стандартне відхилення
s = √(601,2/4) = 12,26
Відповідь
s = 12,26
2.Описова статистика
Відповідь: P = 0,1587
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1
Таблиця нормального розподілу
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Відповідь
P = 0,1587
3.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 132,8
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 10·0,35 + 20·0,15 + 30·0,3 + 40·0,2 = 23,5
Середнє квадратів
E(X²) = 100·0,35 + 400·0,15 + 900·0,3 + 1600·0,2 = 685
Дисперсія
Var(X) = 685 − 23,5² = 132,8
Відповідь
Var(X) = 132,8
4.Імовірність
Відповідь: E(G) = 2 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 15 (p = 0,3), 95 (p = 0,01), −5 (p = 0,69)
Математичне сподівання
E(G) = 15·0,3 + 95·0,01 − 5·0,69 = 2 €
Відповідь
E(G) = 2 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
5.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 0,83
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = 1 − 0,2033 = 0,7967
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,7967 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 0,83
Відповідь
z = 0,83
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 77,82 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Назад до x
x = 65 + 1,282·10 = 77,82 балів
Відповідь
x = 77,82 балів
7.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 9,568
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(50/50) = 0,8393
Нова похибка
E₂ = 11,4·0,8393 = 9,568
Відповідь
E₂ = 9,568
8.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 693
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,645·24/1,5)² = 692,7
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 693
Відповідь
n = 693
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 3,399
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартна похибка середньої різниці
SE = 1,6/√12 = 0,4619
Статистика критерію
t = 1,57/0,4619 = 3,399
Відповідь
t = 3,399
При df = 11 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,201; |t| більше, тож H₀ відхиляється.
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 63,64
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,645·12/√16 = 4,935
Межа інтервалу
U = 58,7 + 4,935 = 63,64
Відповідь
U = 63,64
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9069
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 106/6 = 17,67
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46
Syy = Σ(y − ȳ)² = 133,3
Коефіцієнт детермінації
r² = −46²/(17,5·133,3) = 0,9069
Відповідь
r² = 0,9069
Близько 90,69% варіації y пояснюється прямою.
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −3,348
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 149/6 = 24,83
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 227
Лінія регресії
b = 227/70 = 3,243
a = 24,83 − 3,243·7 = 2,133
ŷ = 2,133 + 3,243·x
Прогнозоване значення
ŷ = 2,133 + 3,243·5 = 18,35
Залишок
e = 15 − 18,35 = −3,348
Відповідь
e = −3,348
Точка лежить нижче прямої.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1