Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня
152025303540

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 17, 41, 26, 11, 39, 14, 26.

n = 7
s =
2.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень менша за 112?

μ = 100σ = 8x = 112
P =
3.ІмовірністьСередня
P(принаймні одна шістка) = ??1?2?3?4?5P(шістка) = 1/6 за кожного кидка

Правильний кубик кидають 5 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 5
P =
4.ІмовірністьСкладна
n = 7, p = 0,1: P(X ≤ 1) = ?k01234567

Тестують 7 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,1. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 7p = 0,1
P =
5.Нормальний розподілСередня
6083P = ?

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 60 і 83 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 65σ = 10x1 = 60x2 = 83
P =
6.Нормальний розподілСкладна
0,04 mm0D − d?

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,04 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Довірчі інтервалиСередня
x̄E₁ = 8,490%, n = 36x̄E₂ = ?99%, n = 36

90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 36 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 8,4. Якою буде гранична похибка E₂ 99 % інтервалу за тими самими даними?

90%n₁ = 36E₁ = 8,499%
E₂ =
8.Довірчі інтервалиСкладна
p ≈ 0,15, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0490%

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,15 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 90 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,04?

p ≈ 0,15E = 0,0490%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
2,08p = ?

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 50; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 6. Випадкова вибірка з 36 спостережень має середнє 52,08. Перевірте H₀: μ = 50 проти H₁: μ > 50. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 50σ = 6n = 36x̄ = 52,08H₁: μ > μ₀
p =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
z −1,9601,96

Вибірка з 64 вимірювань має середнє 76,8. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 8. Знайдіть верхню межу U 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 76,8σ = 8n = 6495%
U =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy16341945225025652867xy20254060

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy348448555666768xy46506070ŷ = 60

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 60?

n = 5ŷ = 60
x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 11,8

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 174/7 = 24,86

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−7,857)² + 16,14² + 1,143² + (−13,86)² + 14,14² + (−10,86)² + 1,143² = 834,9

Стандартне відхилення

s = √(834,9/6) = 11,8

Відповідь

s = 11,8
2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9332

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332

Відповідь

P = 0,9332
3.Імовірність

Відповідь: P = 0,5981

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Відповідь

P = 0,5981
4.Імовірність

Відповідь: P = 0,8503

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,97 = 0,4783
P(X = 1) = 7·0,1·0,96 = 0,372

Додайте

P = 0,4783 + 0,372 = 0,8503

Відповідь

P = 0,8503
5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6555

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (60 − 65)/10 = −0,5
z₂ = (83 − 65)/10 = 1,8

Площа між

P = Φ(1,8) − Φ(−0,5) = 0,9641 − 0,3085 = 0,6555

Відповідь

P = 0,6555
6.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9452

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452

Відповідь

P = 0,9452
7.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 13,15

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(36/36) = 1,566

Нова похибка

E₂ = 8,4·1,566 = 13,15

Відповідь

E₂ = 13,15
8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 216

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,645²·0,15·0,85/0,04² = 215,6

Округліть угору

n = 216

Відповідь

n = 216
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,01876

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 6/√36 = 1
z = (52,08 − 50)/1 = 2,08

Площа хвоста

Φ(2,08) = 0,9812
1 − Φ(2,08) = 0,0188

p-значення

p = 0,01876

Відповідь

p = 0,01876

p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 78,76

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,96·8/√64 = 1,96

Межа інтервалу

U = 76,8 + 1,96 = 78,76

Відповідь

U = 78,76
11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9796

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 261/5 = 52,2

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 258
Syy = Σ(y − ȳ)² = 770,8

Коефіцієнт кореляції

r = 258/√(90·770,8) = 0,9796

Відповідь

r = 0,9796
12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 5,517

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 285/5 = 57

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58

Лінія регресії

b = 58/10 = 5,8
a = 57 − 5,8·5 = 28
ŷ = 28 + 5,8·x

Розв’яжіть щодо x

x = (60 − 28)/5,8 = 5,517

Відповідь

x = 5,517

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1