Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 50, 36, 30, 42, 26, 40.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 106.

μ = 100σ = 15x = 106

z =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,3, 0,15, 0,2, 0,25

σ =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 12 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,7, незалежно. Яка ймовірність P рівно 1 правильних відповідей?

n = 12p = 0,7k = 1

P =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 171 і 181,85 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x₁ = 171x₂ = 181,85

P =

6.Нормальний розподілСкладна

строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 95% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 500 hσ = 40 h95%

x = h

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 6 елементів має середнє 71 і стандартне відхилення s = 15,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 6x̄ = 71s = 15,599%t(5) = 4,032

нижня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 16 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 9,8 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 15 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 6,262 і 2,5 % — вище від 27,488.

n = 16s = 9,8 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 60 деталей має середню довжину 105 mm, відоме стандартне відхилення лінії 7 mm. Лінія 2: вибірка з 60 деталей має середнє 110,9 mm, відоме стандартне відхилення 16 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 60x̄₁ = 105 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 60x̄₂ = 110,9 mmσ₂ = 16 mm

z =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 64 вимірювань має середнє 199,6. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 199,6σ = 5n = 6495%

L =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 120Σy = 439Σx² = 2470Σy² = 32725Σxy = 8979

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 29,5.

n = 6x = 29,5

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 8,641

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 224/6 = 37,33

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 12,67² + (−1,333)² + (−7,333)² + 4,667² + (−11,33)² + 2,667² = 373,3

Стандартне відхилення

s = √(373,3/5) = 8,641

Відповідь

s = 8,641

2.Описова статистика

Відповідь: z = 0,4

Стандартизуйте

z = (106 − 100)/15 = 0,4

Відповідь

z = 0,4

3.Імовірність

Відповідь: σ = 1,364

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,1 + 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,2 + 4·0,25 = 2,2

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,2 + 16·0,25 = 6,7

Дисперсія

Var(X) = 6,7 − 2,2² = 1,86

σ = √1,86 = 1,364

Відповідь

σ = 1,364

4.Імовірність

Відповідь: P = 1,488 × 10⁻⁵

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 1) = 12·0,7¹·0,3¹¹ = 12·0,7·1,771 × 10⁻⁶ = 1,488 × 10⁻⁵

Відповідь

P = 1,488 × 10⁻⁵

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,5502

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (171 − 178)/7 = −1

z₂ = (181,85 − 178)/7 = 0,55

Площа між

P = Φ(0,55) − Φ(−1) = 0,7088 − 0,1587 = 0,5502

Відповідь

P = 0,5502

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 434 h

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,05

z з таблиці

z ≈ −1,64

Назад до початкових одиниць

x = 500 − 1,64·40 = 434 h

Відповідь

x = 434 h

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 45,49

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Похибка оцінки

E = 4,032·15,5/√6 = 25,51

Інтервал

71 ± 25,51 → [45,49, 96,51]

Відповідь

нижня межа = 45,49

8.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 15,17 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 15·9,8² = 1441

Межі для σ²

1441/27,488 = 52,41

1441/6,262 = 230,1

Межа для σ

σ = √230,1 = 15,17 µm

Відповідь

σ = 15,17 µm

95 % інтервал для σ: [7,239, 15,17] µm.

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −2,617

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(7²/60 + 16²/60) = √5,083 = 2,255

Статистика критерію

z = (105 − 110,9)/2,255 = −2,617

Відповідь

z = −2,617

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 198,4

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,96·5/√64 = 1,225

Межа інтервалу

L = 199,6 − 1,225 = 198,4

Відповідь

L = 198,4

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9671

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 8979 − 120·439/6 = 199

S_xx = 2470 − 120²/6 = 70

S_yy = 32725 − 439²/6 = 604,8

Коефіцієнт кореляції

r = 199/√(70·604,8) = 0,9671

Відповідь

r = 0,9671

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 79,27

Середні

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 370/6 = 61,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 462

Лінія регресії

b = 462/157,5 = 2,933

a = 61,67 − 2,933·23,5 = −7,267

ŷ = −7,267 + 2,933·x

Прогноз

ŷ = −7,267 + 2,933·29,5 = 79,27

Відповідь

ŷ = 79,27

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1