Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 49, 57, 50, 13, 51, 13, 60.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 100. Знайдіть z-оцінку z для результату 450.

μ = 500σ = 100x = 450

z =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,2, 0,3, 0,15

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

Тестують 11 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,1. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 11p = 0,1

P =

5.Нормальний розподілСередня

Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 4 з них перевищує 100,5 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 4> 100,5 kg

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 10 % значень (10-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 10%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 10 елементів має середнє 63,5 і стандартне відхилення s = 14. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 10x̄ = 63,5s = 1499%t(9) = 3,25

нижня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 9 ділянок, середній урожай 57 kg, стандартне відхилення 6,5 kg. Група ділянок 2: 12 ділянок, середнє 69 kg, стандартне відхилення 4,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 57s₁ = 6,5n₂ = 12x̄₂ = 69s₂ = 4,590%t(19) = 1,729

E = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

11 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 3,62, стандартне відхилення різниць 4,8. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 11d̄ = 3,62s_d = 4,8

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 500 проти H₁: μ > 500 виконують на рівні α = 0,10 за вибіркою обсягом 64; стандартне відхилення відоме й дорівнює 20. Насправді середнє дорівнює 504,75. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.

μ₀ = 500μ = 504,75σ = 20n = 64α = 0,10

β = %

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 30Σy = 106Σx² = 220Σy² = 2674Σxy = 766

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (25, 107). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(25, 107)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 20,1

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 293/7 = 41,86

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 7,143² + 15,14² + 8,143² + (−28,86)² + 9,143² + (−28,86)² + 18,14² = 2425

Стандартне відхилення

s = √(2425/6) = 20,1

Відповідь

s = 20,1

2.Описова статистика

Відповідь: z = −0,5

Стандартизуйте

z = (450 − 500)/100 = −0,5

Відповідь

z = −0,5

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 4,75

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 2·0,2 + 4·0,3 + 6·0,15 = 2,5

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,2 + 16·0,3 + 36·0,15 = 11

Дисперсія

Var(X) = 11 − 2,5² = 4,75

Відповідь

Var(X) = 4,75

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,6974

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,9¹¹ = 0,3138

P(X = 1) = 11·0,1·0,9¹⁰ = 0,3835

Додайте

P = 0,3138 + 0,3835 = 0,6974

Відповідь

P = 0,6974

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,3085

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 100 kg, σ_T = 0,5·√4 = 1 kg

Стандартизуйте

z = (100,5 − 100)/1 = 0,5

Імовірність

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

Відповідь

P = 0,3085

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 80,78 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Назад до x

x = 100 + −1,282·15 = 80,78 балів

Відповідь

x = 80,78 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 49,11

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Похибка оцінки

E = 3,25·14/√10 = 14,39

Інтервал

63,5 ± 14,39 → [49,11, 77,89]

Відповідь

нижня межа = 49,11

8.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 4,142 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (8·6,5² + 11·4,5²)/19 = 29,51

s_p = 5,433

Похибка оцінки

E = 1,729·5,433·√(1/9 + 1/12) = 4,142

Відповідь

E = 4,142 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,501

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 4,8/√11 = 1,447

Статистика критерію

t = 3,62/1,447 = 2,501

Відповідь

t = 2,501

При df = 10 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,228; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: β = 26,83 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 20/√64 = 2,5

x̄_c = 500 + 1,282·2,5 = 503,2

z при справжньому середньому

z = (503,2 − 504,75)/2,5 = −0,618

Помилка другого роду

потужність = P(Z > −0,618) = 73,17%

β = 100% − 73,17% = 26,83%

Відповідь

β = 26,83%

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9949

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 766 − 30·106/5 = 130

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 2674 − 106²/5 = 426,8

Коефіцієнт кореляції

r = 130/√(40·426,8) = 0,9949

Відповідь

r = 0,9949

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −1,6

Середні

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 471/5 = 94,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 192

Лінія регресії

b = 192/40 = 4,8

a = 94,2 − 4,8·22 = −11,4

ŷ = −11,4 + 4,8·x

Прогнозоване значення

ŷ = −11,4 + 4,8·25 = 108,6

Залишок

e = 107 − 108,6 = −1,6

Відповідь

e = −1,6

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1