Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня
2530354045505560

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 47, 31, 60, 23, 30, 37.

n = 6
s =
2.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 77,5.

μ = 100σ = 15x = 77,5
z =
3.ІмовірністьСередня
xp(x)00,220,340,2560,25μ = 3,1

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,3, 0,25, 0,25
σ =
4.ІмовірністьСкладна
n = 6, p = 0,25: P(X ≤ 1) = ?k0123456

Тестують 6 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,25. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 6p = 0,25
P =
5.Нормальний розподілСередня
144 kg139,8 kgT = X₁ + … + X₁₂?

Маси ящики незалежні та нормальні із середнім 12 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,8 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 12 з них перевищує 139,8 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 12> 139,8 kg
P =
6.Нормальний розподілСкладна
μ = 32x = ?5%

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 5 % значень (5-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 5%
x = min
7.Довірчі інтервалиСередня
x̄E₁ = 8,599%, n = 64x̄E₂ = ?99%, n = 256

99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 64 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 8,5. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 256 спостережень?

99%n₁ = 64E₁ = 8,5n₂ = 256
E₂ =
8.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 40, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,595%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 40. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?

σ = 40E = 1,595%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −1,9901,99

Вибірка з 81 студентів має середній бал 500,4 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 500,4s = 5n = 81
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
z −1,9601,96

Вибірка з 64 вимірювань має середнє 195,7. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 12. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 195,7σ = 12n = 6495%
L =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy23544666487810891298xy510406080100

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 42Σy = 410Σx² = 364Σy² = 31046Σxy = 3328
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy21042062883210441251xy5102040x = 9

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (9, 34). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(9, 34)
e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 13,45

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 228/6 = 38

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 9² + (−7)² + 22² + (−15)² + (−8)² + (−1)² = 904

Стандартне відхилення

s = √(904/5) = 13,45

Відповідь

s = 13,45
2.Описова статистика

Відповідь: z = −1,5

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = (77,5 − 100)/15 = −1,5

Відповідь

z = −1,5
3.Імовірність

Відповідь: σ = 2,142

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,2 + 2·0,3 + 4·0,25 + 6·0,25 = 3,1

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,2 + 4·0,3 + 16·0,25 + 36·0,25 = 14,2

Дисперсія

Var(X) = 14,2 − 3,1² = 4,59
σ = √4,59 = 2,142

Відповідь

σ = 2,142
4.Імовірність

Відповідь: P = 0,5339

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,756 = 0,178
P(X = 1) = 6·0,25·0,755 = 0,356

Додайте

P = 0,178 + 0,356 = 0,5339

Відповідь

P = 0,5339
5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9357

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μT = 144 kg, σT = 0,8·√12 = 2,771 kg

Стандартизуйте

z = (139,8 − 144)/2,771 = −1,52

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,52) = 0,9357

Відповідь

P = 0,9357
6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 22,13 min

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Назад до x

x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min

Відповідь

x = 22,13 min
7.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 4,25

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(64/256) = 0,5

Нова похибка

E₂ = 8,5·0,5 = 4,25

Відповідь

E₂ = 4,25
8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 2732

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·40/1,5)² = 2732

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 2732

Відповідь

n = 2732
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 0,72

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Статистика критерію

t = (500,4 − 500)/0,5556 = 0,72

Відповідь

t = 0,72
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| < 1.99, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 192,8

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,96·12/√64 = 2,94

Межа інтервалу

L = 195,7 − 2,94 = 192,8

Відповідь

L = 192,8
11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9946

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

Sxy = 3328 − 42·410/6 = 458
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 31046 − 410²/6 = 3029

Коефіцієнт кореляції

r = 458/√(70·3029) = 0,9946

Відповідь

r = 0,9946
12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −4,862

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 185/6 = 30,83

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 281

Лінія регресії

b = 281/70 = 4,014
a = 30,83 − 4,014·7 = 2,733
ŷ = 2,733 + 4,014·x

Прогнозоване значення

ŷ = 2,733 + 4,014·9 = 38,86

Залишок

e = 34 − 38,86 = −4,862

Відповідь

e = −4,862

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1