Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 34, 32, 20, 35, 26, 46, 29.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 62.

μ = 50σ = 8x = 62

z =

3.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 7 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 7

P =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €3 з імовірністю 0,3 і €50 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €1€3: p = 0,3€50: p = 0,02

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 247,5 і 251,25 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 250σ = 5x₁ = 247,5x₂ = 251,25

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 10 % значень (10-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 10%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 елементів має середнє 60 і стандартне відхилення s = 16,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 25x̄ = 60s = 16,590%t(24) = 1,711

верхня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,15 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,025?

p ≈ 0,15E = 0,02599%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 80 деталей має середню довжину 56 mm, відоме стандартне відхилення лінії 15 mm. Лінія 2: вибірка з 60 деталей має середнє 58,6 mm, відоме стандартне відхилення 4 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 80x̄₁ = 56 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 60x̄₂ = 58,6 mmσ₂ = 4 mm

z =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 50 проти H₁: μ > 50 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 25; стандартне відхилення відоме й дорівнює 15. Насправді середнє дорівнює 61,4. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.

μ₀ = 50μ = 61,4σ = 15n = 25α = 0,01

β = %

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3,5, 63). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 63)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 8,139

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 222/7 = 31,71

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 2,286² + 0,2857² + (−11,71)² + 3,286² + (−5,714)² + 14,29² + (−2,714)² = 397,4

Стандартне відхилення

s = √(397,4/6) = 8,139

Відповідь

s = 8,139

2.Описова статистика

Відповідь: z = 1,5

Стандартизуйте

z = (62 − 50)/8 = 1,5

Відповідь

z = 1,5

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,7209

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Відповідь

P = 0,7209

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = 0,9 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 2 (p = 0,3), 49 (p = 0,02), −1 (p = 0,68)

Математичне сподівання

E(G) = 2·0,3 + 49·0,02 − 1·0,68 = 0,9 €

Відповідь

E(G) = 0,9 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,2902

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (247,5 − 250)/5 = −0,5

z₂ = (251,25 − 250)/5 = 0,25

Площа між

P = Φ(0,25) − Φ(−0,5) = 0,5987 − 0,3085 = 0,2902

Відповідь

P = 0,2902

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 80,78 балів

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Назад до x

x = 100 + −1,282·15 = 80,78 балів

Відповідь

x = 80,78 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 65,65

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Похибка оцінки

E = 1,711·16,5/√25 = 5,646

Інтервал

60 ± 5,646 → [54,35, 65,65]

Відповідь

верхня межа = 65,65

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 1354

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 2,576²·0,15·0,85/0,025² = 1354

Округліть угору

n = 1354

Відповідь

n = 1354

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −1,482

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(15²/80 + 4²/60) = √3,079 = 1,755

Статистика критерію

z = (56 − 58,6)/1,755 = −1,482

Відповідь

z = −1,482

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: β = 7,024 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 15/√25 = 3

x̄_c = 50 + 2,326·3 = 56,98

z при справжньому середньому

z = (56,98 − 61,4)/3 = −1,474

Помилка другого роду

потужність = P(Z > −1,474) = 92,98%

β = 100% − 92,98% = 7,024%

Відповідь

β = 7,024%

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9764

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 93/6 = 15,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 155

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 351,5

Коефіцієнт детермінації

r² = 155²/(70·351,5) = 0,9764

Відповідь

r² = 0,9764

Близько 97,64% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 1,55

Середні

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 319/5 = 63,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 47

Лінія регресії

b = 47/10 = 4,7

a = 63,8 − 4,7·4 = 45

ŷ = 45 + 4,7·x

Прогнозоване значення

ŷ = 45 + 4,7·3,5 = 61,45

Залишок

e = 63 − 61,45 = 1,55

Відповідь

e = 1,55

Точка лежить вище прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1