Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 48, 48, 39, 13, 19, 40, 20.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 158.

μ = 170σ = 8x = 158

z =

3.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 6 осіб? Порядок не має значення.

n = 6k = 3

N =

4.ІмовірністьСкладна

Тестують 11 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,6. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 11p = 0,6

P =

5.Нормальний розподілСередня

Маси ящики незалежні та нормальні із середнім 12 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,8 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 6 з них перевищує 74,9 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 6> 74,9 kg

P =

6.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 60% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів60%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 15 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −6,6 і стандартне відхилення 4,1. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 15d̄ = −6,6s_d = 4,195%t(14) = 2,145

нижня межа = mmHg

8.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 30 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 9 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 29 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 16,047 і 2,5 % — вище від 45,722.

n = 30s = 9 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 5 студентів, середній бал 85,5, стандартне відхилення 7,5. Група 2: 11 студентів, середній бал 96,5, стандартне відхилення 10,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 5x̄₁ = 85,5s₁ = 7,5n₂ = 11x̄₂ = 96,5s₂ = 10,5

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 63 з 250 пацієнтів, які отримували лікування A, і 50 з 250 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 63n₁ = 250x₂ = 50n₂ = 250

z =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 2,5.

n = 5x = 2,5

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 14,71

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 227/7 = 32,43

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 15,57² + 15,57² + 6,571² + (−19,43)² + (−13,43)² + 7,571² + (−12,43)² = 1298

Стандартне відхилення

s = √(1298/6) = 14,71

Відповідь

s = 14,71

2.Описова статистика

Відповідь: z = −1,5

Стандартизуйте

z = (158 − 170)/8 = −1,5

Відповідь

z = −1,5

3.Імовірність

Відповідь: N = 20

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20

Відповідь

N = 20

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,000734

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,4¹¹ = 4,194 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 11·0,6·0,4¹⁰ = 0,0006921

Додайте

P = 4,194 × 10⁻⁵ + 0,0006921 = 0,000734

Відповідь

P = 0,000734

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,06944

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 72 kg, σ_T = 0,8·√6 = 1,96 kg

Стандартизуйте

z = (74,9 − 72)/1,96 = 1,48

Імовірність

P = 1 − Φ(1,48) = 0,06944

Відповідь

P = 0,06944

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 62,5 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,4

z з таблиці

z ≈ −0,25

Назад до початкових одиниць

x = 65 − 0,25·10 = 62,5 балів

Відповідь

x = 62,5 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −8,871 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 14, t = 2,145

Похибка оцінки

E = 2,145·4,1/√15 = 2,271

Інтервал

−6,6 ± 2,271 → [−8,871, −4,329]

Відповідь

нижня межа = −8,871 mmHg

8.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 7,168 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 29·9² = 2349

Межі для σ²

2349/45,722 = 51,38

2349/16,047 = 146,4

Межа для σ

σ = √51,38 = 7,168 µm

Відповідь

σ = 7,168 µm

95 % інтервал для σ: [7,168, 12,1] µm.

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,094

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (4·7,5² + 10·10,5²)/14 = 94,82

s_p = 9,738

Стандартна похибка

SE = 9,738·√(1/5 + 1/11) = 5,252

Статистика критерію

t = (85,5 − 96,5)/5,252 = −2,094

Відповідь

t = −2,094

При df = 14 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,145; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 1,39

Вибіркові частки

p̂₁ = 63/250 = 0,252

p̂₂ = 50/250 = 0,2

p̂ = 113/500 = 0,226

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,226·0,774·(1/250 + 1/250)) = 0,03741

Статистика критерію

z = (0,252 − 0,2)/0,03741 = 1,39

Відповідь

z = 1,39

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,7805

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 287/5 = 57,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 295,2

Коефіцієнт детермінації

r² = 48²/(10·295,2) = 0,7805

Відповідь

r² = 0,7805

Близько 78,05% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 24,1

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 116/5 = 23,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18

Лінія регресії

b = −18/10 = −1,8

a = 23,2 − (−1,8)·3 = 28,6

ŷ = 28,6 − 1,8·x

Прогноз

ŷ = 28,6 + (−1,8)·2,5 = 24,1

Відповідь

ŷ = 24,1

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1