Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 31, 60, 11, 17, 57, 34, 16.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 100. Яка частка P значень менша за 700?

μ = 500σ = 100x = 700

P =

3.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 2 осіб із групи з 6 осіб? Порядок не має значення.

n = 6k = 2

N =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = −2X − 3. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,25, 0,25, 0,3Y = −2X − 3

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,9890. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9890

z =

6.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,02 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 9 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 4,2 і стандартне відхилення 7. Знайдіть граничну похибку E 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 9d̄ = 4,2s_d = 790%t(8) = 1,86

E = mmHg

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 29. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2?

σ = 29E = 295%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 16 студентів має середній бал 203,6 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 203,6s = 12n = 16

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 60 з 100 пацієнтів, які отримували лікування A, і 173 з 250 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 60n₁ = 100x₂ = 173n₂ = 250

z =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 35Σy = 349Σx² = 285Σy² = 24889Σxy = 2585

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 37?

n = 5ŷ = 37

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 19,73

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 226/7 = 32,29

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−1,286)² + 27,71² + (−21,29)² + (−15,29)² + 24,71² + 1,714² + (−16,29)² = 2335

Стандартне відхилення

s = √(2335/6) = 19,73

Відповідь

s = 19,73

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = 2

Таблиця нормального розподілу

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Відповідь

P = 0,9772

3.Імовірність

Відповідь: N = 15

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15

Відповідь

N = 15

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 2,216

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 1,65, Var(X) = 1,228, σ_X = 1,108

Лінійна зміна

σ_Y = |−2|·1,108 = 2,216

Відповідь

σ_Y = 2,216

Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·1,65 − 3 = −6,3.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −2,29

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,9890 = 0,0110

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,0110 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −2,29

Відповідь

z = −2,29

6.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7611

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02828 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,02828 = −0,71

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,71) = 0,7611

Відповідь

P = 0,7611

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 4,34 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 8, t = 1,86

Похибка оцінки

E = 1,86·7/√9 = 4,34

Відповідь

E = 4,34 mmHg

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 808

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·29/2)² = 807,7

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 808

Відповідь

n = 808

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,2

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

Статистика критерію

t = (203,6 − 200)/3 = 1,2

Відповідь

t = 1,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −1,648

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Вибіркові частки

p̂₁ = 60/100 = 0,6

p̂₂ = 173/250 = 0,692

p̂ = 233/350 = 0,6657

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,6657·0,3343·(1/100 + 1/250)) = 0,05582

Статистика критерію

z = (0,6 − 0,692)/0,05582 = −1,648

Відповідь

z = −1,648

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9764

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 2585 − 35·349/5 = 142

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 24889 − 349²/5 = 528,8

Коефіцієнт кореляції

r = 142/√(40·528,8) = 0,9764

Відповідь

r = 0,9764

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 2,433

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 202/5 = 40,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

Лінія регресії

b = 60/10 = 6

a = 40,4 − 6·3 = 22,4

ŷ = 22,4 + 6·x

Розв’яжіть щодо x

x = (37 − 22,4)/6 = 2,433

Відповідь

x = 2,433

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1