Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 44, 14, 44, 54, 23, 27.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 54,8.

μ = 50σ = 8x = 54,8

z =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €50 з імовірністю 0,15 і €200 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €10€50: p = 0,15€200: p = 0,01

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Маси болти незалежні та нормальні із середнім 40 g і середнім квадратичним відхиленням 1,2 g. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 6 з них менша за 235,6 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 6< 235.6 g

P =

6.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 25% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів25%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 6 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −6,6 і стандартне відхилення 2,4. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 6d̄ = −6,6s_d = 2,495%t(5) = 2,571

нижня межа = mmHg

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 6 ділянок, середній урожай 42,5 kg, стандартне відхилення 8,5 kg. Група ділянок 2: 6 ділянок, середнє 30,5 kg, стандартне відхилення 7 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 42,5s₁ = 8,5n₂ = 6x̄₂ = 30,5s₂ = 795%t(10) = 2,228

E = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 16 студентів має середній бал 84,5 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 84,5s = 20n = 16

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 200 проти H₁: μ > 200 виконують на рівні α = 0,05 за вибіркою обсягом 64; стандартне відхилення відоме й дорівнює 20. Насправді середнє дорівнює 202,75. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.

μ₀ = 200μ = 202,75σ = 20n = 64α = 0,05

β = %

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 58?

n = 6ŷ = 58

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 15,29

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 206/6 = 34,33

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 9,667² + (−20,33)² + 9,667² + 19,67² + (−11,33)² + (−7,333)² = 1169

Стандартне відхилення

s = √(1169/5) = 15,29

Відповідь

s = 15,29

2.Описова статистика

Відповідь: z = 0,6

Стандартизуйте

z = (54,8 − 50)/8 = 0,6

Відповідь

z = 0,6

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 0,7

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Дисперсія

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

Відповідь

Var(X) = 0,7

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = −0,5 €

Чисті результати

G: 40 (p = 0,15), 190 (p = 0,01), −10 (p = 0,84)

Математичне сподівання

E(G) = 40·0,15 + 190·0,01 − 10·0,84 = −0,5 €

Відповідь

E(G) = −0,5 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,06681

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 240 g, σ_T = 1,2·√6 = 2,939 g

Стандартизуйте

z = (235,6 − 240)/2,939 = −1,5

Імовірність

P = Φ(−1,5) = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 71,7 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,75

z з таблиці

z ≈ 0,67

Назад до початкових одиниць

x = 65 + 0,67·10 = 71,7 балів

Відповідь

x = 71,7 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −9,119 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 5, t = 2,571

Похибка оцінки

E = 2,571·2,4/√6 = 2,519

Інтервал

−6,6 ± 2,519 → [−9,119, −4,081]

Відповідь

нижня межа = −9,119 mmHg

8.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 10,02 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (5·8,5² + 5·7²)/10 = 60,63

s_p = 7,786

Похибка оцінки

E = 2,228·7,786·√(1/6 + 1/6) = 10,02

Відповідь

E = 10,02 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −3,1

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Статистика критерію

t = (84,5 − 100)/5 = −3,1

Відповідь

t = −3,1

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: β = 70,71 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 20/√64 = 2,5

x̄_c = 200 + 1,645·2,5 = 204,1

z при справжньому середньому

z = (204,1 − 202,75)/2,5 = 0,545

Помилка другого роду

потужність = P(Z > 0,545) = 29,29%

β = 100% − 29,29% = 70,71%

Відповідь

β = 70,71%

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,8688

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 239/5 = 47,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 29

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 96,8

Коефіцієнт детермінації

r² = 29²/(10·96,8) = 0,8688

Відповідь

r² = 0,8688

Близько 86,88% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 3,432

Середні

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 404/6 = 67,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 79

Лінія регресії

b = 79/17,5 = 4,514

a = 67,33 − 4,514·5,5 = 42,5

ŷ = 42,5 + 4,514·x

Розв’яжіть щодо x

x = (58 − 42,5)/4,514 = 3,432

Відповідь

x = 3,432

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1