Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 17, 48, 56, 51, 53, 54.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 50. Знайдіть z-оцінку z для результату 440.

μ = 500σ = 50x = 440

z =

3.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 11 осіб? Порядок не має значення.

n = 11k = 3

N =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 11 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,5, незалежно. Яка ймовірність P рівно 1 правильних відповідей?

n = 11p = 0,5k = 1

P =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,4177. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,4177

z =

6.Нормальний розподілСкладна

строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 80% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 500 hσ = 40 h80%

x = h

7.Довірчі інтервалиСередня

90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 64 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 4,4. Якою буде гранична похибка E₂ 99 % інтервалу за 16 спостереженнями?

90%n₁ = 64E₁ = 4,499%n₂ = 16

E₂ =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 21 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 6,6 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 20 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 9,591 і 2,5 % — вище від 34,17.

n = 21s = 6,6 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

6 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 12,08, стандартне відхилення різниць 8,7. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 6d̄ = 12,08s_d = 8,7

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2,5? Стандартне відхилення — 8. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 8E = 2,590%

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 129Σy = 426Σx² = 2931Σy² = 33624Σxy = 9882

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 88?

n = 5ŷ = 88

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 14,71

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 279/6 = 46,5

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−29,5)² + 1,5² + 9,5² + 4,5² + 6,5² + 7,5² = 1082

Стандартне відхилення

s = √(1082/5) = 14,71

Відповідь

s = 14,71

2.Описова статистика

Відповідь: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (440 − 500)/50 = −1,2

Відповідь

z = −1,2

3.Імовірність

Відповідь: N = 165

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(11, 3) = (11·10·9)/(3·2·1) = 165

Відповідь

N = 165

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,005371

Біноміальна формула

P(X = 1) = 11·0,5¹·0,5¹⁰ = 11·0,5·0,0009766 = 0,005371

Відповідь

P = 0,005371

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,55

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,4177)/2 = 0,7088

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,7088 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,55

Відповідь

z = 0,55

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 466 h

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,2

z з таблиці

z ≈ −0,84

Назад до початкових одиниць

x = 500 − 0,84·40 = 466 h

Відповідь

x = 466 h

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 13,78

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(64/16) = 3,132

Нова похибка

E₂ = 4,4·3,132 = 13,78

Відповідь

E₂ = 13,78

8.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 5,049 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 20·6,6² = 871,2

Межі для σ²

871,2/34,17 = 25,5

871,2/9,591 = 90,84

Межа для σ

σ = √25,5 = 5,049 µm

Відповідь

σ = 5,049 µm

95 % інтервал для σ: [5,049, 9,531] µm.

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 3,401

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 8,7/√6 = 3,552

Статистика критерію

t = 12,08/3,552 = 3,401

Відповідь

t = 3,401

При df = 5 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,571; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 28

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,645·8/2,5)² = 27,71

Округліть угору

n = 28

Відповідь

n = 28

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9912

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 9882 − 129·426/6 = 723

S_xx = 2931 − 129²/6 = 157,5

S_yy = 33624 − 426²/6 = 3378

Коефіцієнт кореляції

r = 723/√(157,5·3378) = 0,9912

Відповідь

r = 0,9912

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 8,053

Середні

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 410/5 = 82

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228

Лінія регресії

b = 228/40 = 5,7

a = 82 − 5,7·7 = 42,1

ŷ = 42,1 + 5,7·x

Розв’яжіть щодо x

x = (88 − 42,1)/5,7 = 8,053

Відповідь

x = 8,053

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1