Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 20, 41, 40, 15, 25.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 190.

μ = 170σ = 20x = 190

z =

3.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 4 осіб із групи з 7 осіб? Порядок не має значення.

n = 7k = 4

N =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €2. Ви виграєте €4 з імовірністю 0,1 і €20 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €2€4: p = 0,1€20: p = 0,01

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 62,5 і 83 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 65σ = 10x₁ = 62,5x₂ = 83

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 80 % значень (80-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 80%

x = min

7.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 80 телефонів, середнє 49,5 h, відоме стандартне відхилення 19 h. Модель 2: 60 телефонів, середнє 38 h, відоме стандартне відхилення 16 h. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 49,5 hσ₁ = 19 hn₂ = 60x̄₂ = 38 hσ₂ = 16 h90%

верхня межа = h

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 19. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 4?

σ = 19E = 490%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 студентів має середній бал 73,2 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73,2s = 10n = 25

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 5 одиниць із потужністю 95 %. Стандартне відхилення 21. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,05потужність = 95%δ = 5σ = 21z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 42Σy = 190Σx² = 364Σy² = 7000Σxy = 1592

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (23, 121). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(23, 121)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 11,78

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 141/5 = 28,2

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−8,2)² + 12,8² + 11,8² + (−13,2)² + (−3,2)² = 554,8

Стандартне відхилення

s = √(554,8/4) = 11,78

Відповідь

s = 11,78

2.Описова статистика

Відповідь: z = 1

Стандартизуйте

z = (190 − 170)/20 = 1

Відповідь

z = 1

3.Імовірність

Відповідь: N = 35

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(7, 4) = (7·6·5·4)/(4·3·2·1) = 35

Відповідь

N = 35

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = −1,4 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 2 (p = 0,1), 18 (p = 0,01), −2 (p = 0,89)

Математичне сподівання

E(G) = 2·0,1 + 18·0,01 − 2·0,89 = −1,4 €

Відповідь

E(G) = −1,4 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,5628

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (62,5 − 65)/10 = −0,25

z₂ = (83 − 65)/10 = 1,8

Площа між

P = Φ(1,8) − Φ(−0,25) = 0,9641 − 0,4013 = 0,5628

Відповідь

P = 0,5628

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 37,05 min

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Назад до x

x = 32 + 0,8416·6 = 37,05 min

Відповідь

x = 37,05 min

7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 16,37 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 49,5 − 38 = 11,5

Стандартна похибка

SE = √(19²/80 + 16²/60) = 2,963

Похибка оцінки

E = 1,645·2,963 = 4,874

Інтервал

11,5 ± 4,874 → [6,626, 16,37]

Відповідь

верхня межа = 16,37 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 62

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,645·19/4)² = 61,05

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 62

Відповідь

n = 62

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −0,9

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Статистика критерію

t = (73,2 − 75)/2 = −0,9

Відповідь

t = −0,9

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 191

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((1,645 + 1,645)·21/5)² = 190,9

Округліть угору

n = 191

Відповідь

n = 191

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9986

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 1592 − 42·190/6 = 262

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 7000 − 190²/6 = 983,3

Коефіцієнт кореляції

r = 262/√(70·983,3) = 0,9986

Відповідь

r = 0,9986

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 4,914

Середні

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 558/6 = 93

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 404

Лінія регресії

b = 404/70 = 5,771

a = 93 − 5,771·19 = −16,66

ŷ = −16,66 + 5,771·x

Прогнозоване значення

ŷ = −16,66 + 5,771·23 = 116,1

Залишок

e = 121 − 116,1 = 4,914

Відповідь

e = 4,914

Точка лежить вище прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1