Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 42, 11, 56, 46, 59, 39, 54.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень більша за 110?

μ = 100σ = 10x = 110

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,3, 0,1, 0,25

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 0,5X + 4. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 0,5X + 4

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 12 з них перевищує 298,3 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 12> 298,3 kg

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 10 % значень (10-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 10%

x = h

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 8 елементів має середнє 14,5 і стандартне відхилення s = 13,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 8x̄ = 14,5s = 13,599%t(7) = 3,499

верхня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 5 ділянок, середній урожай 81,5 kg, стандартне відхилення 7,5 kg. Група ділянок 2: 12 ділянок, середнє 87,5 kg, стандартне відхилення 5,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 81,5s₁ = 7,5n₂ = 12x̄₂ = 87,5s₂ = 5,590%t(15) = 1,753

E = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

12 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 7,11, стандартне відхилення різниць 7,7. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 12d̄ = 7,11s_d = 7,7

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 81 вимірювань має середнє 77,5. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 8. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 77,5σ = 8n = 8195%

L =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (1,5, 37). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 37)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 16,28

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 307/7 = 43,86

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−1,857)² + (−32,86)² + 12,14² + 2,143² + 15,14² + (−4,857)² + 10,14² = 1591

Стандартне відхилення

s = √(1591/6) = 16,28

Відповідь

s = 16,28

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,1587

Стандартизуйте

z = 1

Таблиця нормального розподілу

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Відповідь

P = 0,1587

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 1,388

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,1 + 3·0,25 = 1,25

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,1 + 9·0,25 = 2,95

Дисперсія

Var(X) = 2,95 − 1,25² = 1,388

Відповідь

Var(X) = 1,388

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 0,4023

Розкид X

μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Лінійна зміна

σ_Y = |0,5|·0,8047 = 0,4023

Відповідь

σ_Y = 0,4023

Середнє таки зсувається: E(Y) = 0,5·0,95 + 4 = 4,475.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8365

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 300 kg, σ_T = 0,5·√12 = 1,732 kg

Стандартизуйте

z = (298,3 − 300)/1,732 = −0,98

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,98) = 0,8365

Відповідь

P = 0,8365

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 448,7 h

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Назад до x

x = 500 + −1,282·40 = 448,74 h

Відповідь

x = 448,74 h

7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 31,2

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 7, t = 3,499

Похибка оцінки

E = 3,499·13,5/√8 = 16,7

Інтервал

14,5 ± 16,7 → [−2,201, 31,2]

Відповідь

верхня межа = 31,2

8.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 5,69 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (4·7,5² + 11·5,5²)/15 = 37,18

s_p = 6,098

Похибка оцінки

E = 1,753·6,098·√(1/5 + 1/12) = 5,69

Відповідь

E = 5,69 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 3,199

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 7,7/√12 = 2,223

Статистика критерію

t = 7,11/2,223 = 3,199

Відповідь

t = 3,199

При df = 11 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,201; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 75,76

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,96·8/√81 = 1,742

Межа інтервалу

L = 77,5 − 1,742 = 75,76

Відповідь

L = 75,76

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,972

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 489/5 = 97,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 477

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2601

Коефіцієнт детермінації

r² = 477²/(90·2601) = 0,972

Відповідь

r² = 0,972

Близько 97,2% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −4,8

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 248/5 = 49,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52

Лінія регресії

b = 52/10 = 5,2

a = 49,6 − 5,2·3 = 34

ŷ = 34 + 5,2·x

Прогнозоване значення

ŷ = 34 + 5,2·1,5 = 41,8

Залишок

e = 37 − 41,8 = −4,8

Відповідь

e = −4,8

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1