Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 49, 20, 31, 31, 22.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 40. Знайдіть z-оцінку z для результату 540.

μ = 500σ = 40x = 540

z =

3.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 5 осіб із групи з 8 осіб? Порядок не має значення.

n = 8k = 5

N =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 10 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,6, незалежно. Яка ймовірність P рівно 1 правильних відповідей?

n = 10p = 0,6k = 1

P =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,7704. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,7704

z =

6.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 30% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm30%

x = cm

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 елементів має середнє 115,5 і стандартне відхилення s = 9. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 25x̄ = 115,5s = 999%t(24) = 2,797

нижня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 5 ділянок, середній урожай 21 kg, стандартне відхилення 5 kg. Група ділянок 2: 11 ділянок, середнє 26 kg, стандартне відхилення 8,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 21s₁ = 5n₂ = 11x̄₂ = 26s₂ = 8,599%t(14) = 2,977

верхня межа = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 500; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 2,5. Випадкова вибірка з 25 спостережень має середнє 500,64. Перевірте H₀: μ = 500 проти H₁: μ ≠ 500. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 500σ = 2,5n = 25x̄ = 500,64H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 81 вимірювань має середнє 50,5. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть верхню межу U 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 50,5σ = 5n = 8190%

U =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 20Σy = 286Σx² = 90Σy² = 16672Σxy = 1199

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 1,5.

n = 5x = 1,5

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 11,46

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 153/5 = 30,6

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 18,4² + (−10,6)² + 0,4² + 0,4² + (−8,6)² = 525,2

Стандартне відхилення

s = √(525,2/4) = 11,46

Відповідь

s = 11,46

2.Описова статистика

Відповідь: z = 1

Стандартизуйте

z = (540 − 500)/40 = 1

Відповідь

z = 1

3.Імовірність

Відповідь: N = 56

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(8, 5) = (8·7·6·5·4)/(5·4·3·2·1) = 56

Відповідь

N = 56

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,001573

Біноміальна формула

P(X = 1) = 10·0,6¹·0,4⁹ = 10·0,6·0,0002621 = 0,001573

Відповідь

P = 0,001573

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −0,74

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,7704 = 0,2296

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,2296 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −0,74

Відповідь

z = −0,74

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 174,4 cm

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,3

z з таблиці

z ≈ −0,52

Назад до початкових одиниць

x = 178 − 0,52·7 = 174,4 cm

Відповідь

x = 174,4 cm

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 110,5

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 24, t = 2,797

Похибка оцінки

E = 2,797·9/√25 = 5,035

Інтервал

115,5 ± 5,035 → [110,5, 120,5]

Відповідь

нижня межа = 110,5

8.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 7,307 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (4·5² + 10·8,5²)/14 = 58,75

s_p = 7,665

Похибка оцінки

E = 2,977·7,665·√(1/5 + 1/11) = 12,31

Інтервал

−5 ± 12,31 → [−17,31, 7,307]

Відповідь

верхня межа = 7,307 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,2005

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 2,5/√25 = 0,5

z = (500,64 − 500)/0,5 = 1,28

Площа хвоста

Φ(1,28) = 0,8997

1 − Φ(1,28) = 0,1003

p-значення

p = 2·0,1003 = 0,2005

Відповідь

p = 0,2005

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 51,41

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,645·5/√81 = 0,9139

Межа інтервалу

U = 50,5 + 0,9139 = 51,41

Відповідь

U = 51,41

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9834

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 1199 − 20·286/5 = 55

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 16672 − 286²/5 = 312,8

Коефіцієнт кореляції

r = 55/√(10·312,8) = 0,9834

Відповідь

r = 0,9834

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 21,3

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 99/5 = 19,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −10

Лінія регресії

b = −10/10 = −1

a = 19,8 − (−1)·3 = 22,8

ŷ = 22,8 − 1·x

Прогноз

ŷ = 22,8 + (−1)·1,5 = 21,3

Відповідь

ŷ = 21,3

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1