Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 48, 10, 37, 10, 24, 14, 13.
n = 7
s =
2.Описова статистикаСкладна
Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень менша за 140?
μ = 170σ = 15x = 140
P =
3.ІмовірністьСередня
Правильний кубик кидають 7 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?
n = 7
P =
4.ІмовірністьСкладна
Тестують 8 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,4. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 8p = 0,4
P =
5.Нормальний розподілСередня
Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 30,2 і 39,2 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 32σ = 6x1 = 30,2x2 = 39,2
P =
6.Нормальний розподілСкладна
Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 97,5 % значень (97,5-й процентиль).
μ = 65σ = 10P = 97,5%
x = балів
7.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 15 елементів має середнє 77,5 і стандартне відхилення s = 14. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 15x̄ = 77,5s = 1490%t(14) = 1,761
верхня межа =
8.Довірчі інтервалиСкладна
Діаметри 21 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 9,2 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 20 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 9,591 і 2,5 % — вище від 34,17.
n = 21s = 9,2 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 100; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 2,5. Випадкова вибірка з 25 спостережень має середнє 98,94. Перевірте H₀: μ = 100 проти H₁: μ ≠ 100. Знайдіть p-значення p.
μ₀ = 100σ = 2,5n = 25x̄ = 98,94H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 49 вимірювань має середнє 76,7. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 10. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 76,7σ = 10n = 4999%
U =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 5Σx = 15Σy = 133Σx² = 55Σy² = 3563Σxy = 388
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (8, 95). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(8, 95)
e =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 14,93
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 156/7 = 22,29
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = 25,71² + (−12,29)² + 14,71² + (−12,29)² + 1,714² + (−8,286)² + (−9,286)² = 1337
Стандартне відхилення
s = √(1337/6) = 14,93
Відповідь
s = 14,93
2.Описова статистика
Відповідь: P = 0,02275
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −2
Таблиця нормального розподілу
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Відповідь
P = 0,02275
3.Імовірність
Відповідь: P = 0,7209
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Протилежна подія
P(немає шістки) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Відповідь
P = 0,7209
4.Імовірність
Відповідь: P = 0,1064
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,68 = 0,0168
P(X = 1) = 8·0,4·0,67 = 0,08958
Додайте
P = 0,0168 + 0,08958 = 0,1064
Відповідь
P = 0,1064
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,5028
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (30,2 − 32)/6 = −0,3
z₂ = (39,2 − 32)/6 = 1,2
Площа між
P = Φ(1,2) − Φ(−0,3) = 0,8849 − 0,3821 = 0,5028
Відповідь
P = 0,5028
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 84,6 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Назад до x
x = 65 + 1,96·10 = 84,6 балів
Відповідь
x = 84,6 балів
7.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 83,87
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 14, t = 1,761
Похибка оцінки
E = 1,761·14/√15 = 6,366
Інтервал
77,5 ± 6,366 → [71,13, 83,87]
Відповідь
верхня межа = 83,87
8.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 13,29 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 20·9,2² = 1693
Межі для σ²
1693/34,17 = 49,54
1693/9,591 = 176,5
Межа для σ
σ = √176,5 = 13,29 µm
Відповідь
σ = 13,29 µm
95 % інтервал для σ: [7,039, 13,29] µm.
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: p = 0,03401
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерію
SE = σ/√n = 2,5/√25 = 0,5
z = (98,94 − 100)/0,5 = −2,12
Площа хвоста
Φ(2,12) = 0,9830
1 − Φ(2,12) = 0,0170
p-значення
p = 2·0,0170 = 0,03401
Відповідь
p = 0,03401
p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 80,38
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 2,576·10/√49 = 3,68
Межа інтервалу
U = 76,7 + 3,68 = 80,38
Відповідь
U = 80,38
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,6929
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 388 − 15·133/5 = −11
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 3563 − 133²/5 = 25,2
Коефіцієнт кореляції
r = −11/√(10·25,2) = −0,6929
Відповідь
r = −0,6929
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 1,6
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 441/5 = 88,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 208
Лінія регресії
b = 208/40 = 5,2
a = 88,2 − 5,2·7 = 51,8
ŷ = 51,8 + 5,2·x
Прогнозоване значення
ŷ = 51,8 + 5,2·8 = 93,4
Залишок
e = 95 − 93,4 = 1,6
Відповідь
e = 1,6
Точка лежить вище прямої.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1