Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 55, 50, 15, 47, 24.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 40.

μ = 60σ = 10x = 40

z =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

σ =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €3. Ви виграєте €9 з імовірністю 0,3 і €60 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €3€9: p = 0,3€60: p = 0,02

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 169,6 і 181,85 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x₁ = 169,6x₂ = 181,85

P =

6.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 25% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів25%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 64 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 10. Якою буде гранична похибка E₂ 95 % інтервалу за 16 спостереженнями?

90%n₁ = 64E₁ = 1095%n₂ = 16

E₂ =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 28. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?

σ = 28E = 0,599%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 500; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 30. Випадкова вибірка з 144 спостережень має середнє 493,8. Перевірте H₀: μ = 500 проти H₁: μ < 500. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 500σ = 30n = 144x̄ = 493,8H₁: μ < μ₀

p =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 40 з 200 пацієнтів, які отримували лікування A, і 5 з 100 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 40n₁ = 200x₂ = 5n₂ = 100

z =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 5,5.

n = 5x = 5,5

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 17,6

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 191/5 = 38,2

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 16,8² + 11,8² + (−23,2)² + 8,8² + (−14,2)² = 1239

Стандартне відхилення

s = √(1239/4) = 17,6

Відповідь

s = 17,6

2.Описова статистика

Відповідь: z = −2

Стандартизуйте

z = (40 − 60)/10 = −2

Відповідь

z = −2

3.Імовірність

Відповідь: σ = 0,8047

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Дисперсія

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Відповідь

σ = 0,8047

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = 0,9 €

Чисті результати

G: 6 (p = 0,3), 57 (p = 0,02), −3 (p = 0,68)

Математичне сподівання

E(G) = 6·0,3 + 57·0,02 − 3·0,68 = 0,9 €

Відповідь

E(G) = 0,9 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,5938

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (169,6 − 178)/7 = −1,2

z₂ = (181,85 − 178)/7 = 0,55

Площа між

P = Φ(0,55) − Φ(−1,2) = 0,7088 − 0,1151 = 0,5938

Відповідь

P = 0,5938

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 71,7 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,75

z з таблиці

z ≈ 0,67

Назад до початкових одиниць

x = 65 + 0,67·10 = 71,7 балів

Відповідь

x = 71,7 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 23,83

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(64/16) = 2,383

Нова похибка

E₂ = 10·2,383 = 23,83

Відповідь

E₂ = 23,83

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 20810

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·28/0,5)² = 20810

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 20810

Відповідь

n = 20810

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,006569

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 30/√144 = 2,5

z = (493,8 − 500)/2,5 = −2,48

Площа хвоста

Φ(2,48) = 0,9934

1 − Φ(2,48) = 0,0066

p-значення

p = 0,006569

Відповідь

p = 0,006569

p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 3,43

Вибіркові частки

p̂₁ = 40/200 = 0,2

p̂₂ = 5/100 = 0,05

p̂ = 45/300 = 0,15

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,15·0,85·(1/200 + 1/100)) = 0,04373

Статистика критерію

z = (0,2 − 0,05)/0,04373 = 3,43

Відповідь

z = 3,43

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,9975

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 79/5 = 15,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 78,8

Коефіцієнт кореляції

r = −28/√(10·78,8) = −0,9975

Відповідь

r = −0,9975

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 66,75

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 326/5 = 65,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 31

Лінія регресії

b = 31/10 = 3,1

a = 65,2 − 3,1·5 = 49,7

ŷ = 49,7 + 3,1·x

Прогноз

ŷ = 49,7 + 3,1·5,5 = 66,75

Відповідь

ŷ = 66,75

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1