Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 17, 35, 16, 29, 43, 20, 59.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 50. Знайдіть z-оцінку z для результату 530.

μ = 500σ = 50x = 530

z =

3.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 4 осіб із групи з 13 осіб? Порядок не має значення.

n = 13k = 4

N =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 12 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,2, незалежно. Яка ймовірність P рівно 1 правильних відповідей?

n = 12p = 0,2k = 1

P =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 470 і 550 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 500σ = 40x₁ = 470x₂ = 550

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 5 % значень (5-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 5%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 15 елементів має середнє 27,5 і стандартне відхилення s = 17,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 15x̄ = 27,5s = 17,599%t(14) = 2,977

E =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,3 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,025?

p ≈ 0,3E = 0,02599%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 50; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 24. Випадкова вибірка з 36 спостережень має середнє 40,08. Перевірте H₀: μ = 50 проти H₁: μ < 50. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 50σ = 24n = 36x̄ = 40,08H₁: μ < μ₀

p =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 5 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 13. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,05потужність = 80%δ = 5σ = 13z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 43?

n = 6ŷ = 43

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 15,76

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 219/7 = 31,29

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−14,29)² + 3,714² + (−15,29)² + (−2,286)² + 11,71² + (−11,29)² + 27,71² = 1489

Стандартне відхилення

s = √(1489/6) = 15,76

Відповідь

s = 15,76

2.Описова статистика

Відповідь: z = 0,6

Стандартизуйте

z = (530 − 500)/50 = 0,6

Відповідь

z = 0,6

3.Імовірність

Відповідь: N = 715

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(13, 4) = (13·12·11·10)/(4·3·2·1) = 715

Відповідь

N = 715

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,2062

Біноміальна формула

P(X = 1) = 12·0,2¹·0,8¹¹ = 12·0,2·0,0859 = 0,2062

Відповідь

P = 0,2062

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6677

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (470 − 500)/40 = −0,75

z₂ = (550 − 500)/40 = 1,25

Площа між

P = Φ(1,25) − Φ(−0,75) = 0,8944 − 0,2266 = 0,6677

Відповідь

P = 0,6677

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 48,55 балів

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Назад до x

x = 65 + −1,645·10 = 48,55 балів

Відповідь

x = 48,55 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 13,45

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Похибка оцінки

E = 2,977·17,5/√15 = 13,45

Відповідь

E = 13,45

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 2230

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 2,576²·0,3·0,7/0,025² = 2230

Округліть угору

n = 2230

Відповідь

n = 2230

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,006569

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 24/√36 = 4

z = (40,08 − 50)/4 = −2,48

Площа хвоста

Φ(2,48) = 0,9934

1 − Φ(2,48) = 0,0066

p-значення

p = 0,006569

Відповідь

p = 0,006569

p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 42

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((1,645 + 0,842)·13/5)² = 41,81

Округліть угору

n = 42

Відповідь

n = 42

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9153

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 204/5 = 40,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 174,8

Коефіцієнт детермінації

r² = 80²/(40·174,8) = 0,9153

Відповідь

r² = 0,9153

Близько 91,53% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 5,705

Середні

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 254/6 = 42,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57

Лінія регресії

b = 57/17,5 = 3,257

a = 42,33 − 3,257·5,5 = 24,42

ŷ = 24,42 + 3,257·x

Розв’яжіть щодо x

x = (43 − 24,42)/3,257 = 5,705

Відповідь

x = 5,705

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1