Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 17, 23, 17, 10, 32, 57, 25.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень більша за 130?

μ = 100σ = 20x = 130

P =

3.ІмовірністьСередня

У мішечку 5 червоних і 5 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

5 / 5

P =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 3X − 3. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,05, 0,25, 0,1, 0,3Y = 3X − 3

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 92,5 і 115 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 100σ = 15x₁ = 92,5x₂ = 115

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 80 % значень (80-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 80%

x = g

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 16 елементів має середнє 80 і стандартне відхилення s = 15,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 16x̄ = 80s = 15,595%t(15) = 2,131

верхня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 11 ділянок, середній урожай 34,5 kg, стандартне відхилення 8 kg. Група ділянок 2: 20 ділянок, середнє 37 kg, стандартне відхилення 7,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 34,5s₁ = 8n₂ = 20x̄₂ = 37s₂ = 7,599%t(29) = 2,756

E = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 16 студентів має середній бал 514,5 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 514,5s = 20n = 16

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 100 вимірювань має середнє 71. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 20. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 71σ = 20n = 10099%

U =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 55?

n = 5ŷ = 55

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 15,41

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 181/7 = 25,86

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−8,857)² + (−2,857)² + (−8,857)² + (−15,86)² + 6,143² + 31,14² + (−0,8571)² = 1425

Стандартне відхилення

s = √(1425/6) = 15,41

Відповідь

s = 15,41

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,06681

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,2222

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 5/10 · 4/9 = 20/90 = 0,2222

Відповідь

P = 0,2222

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 4,788

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 3,05, Var(X) = 2,548, σ_X = 1,596

Лінійна зміна

σ_Y = |3|·1,596 = 4,788

Відповідь

σ_Y = 4,788

Середнє таки зсувається: E(Y) = 3·3,05 − 3 = 6,15.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,5328

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (92,5 − 100)/15 = −0,5

z₂ = (115 − 100)/15 = 1

Площа між

P = Φ(1) − Φ(−0,5) = 0,8413 − 0,3085 = 0,5328

Відповідь

P = 0,5328

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 254,2 g

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Назад до x

x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g

Відповідь

x = 254,21 g

7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 88,26

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Похибка оцінки

E = 2,131·15,5/√16 = 8,258

Інтервал

80 ± 8,258 → [71,74, 88,26]

Відповідь

верхня межа = 88,26

8.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 7,941 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (10·8² + 19·7,5²)/29 = 58,92

s_p = 7,676

Похибка оцінки

E = 2,756·7,676·√(1/11 + 1/20) = 7,941

Відповідь

E = 7,941 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,9

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Статистика критерію

t = (514,5 − 500)/5 = 2,9

Відповідь

t = 2,9

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 76,15

Похибка оцінки

E = 2,576·20/√100 = 5,152

Межа інтервалу

U = 71 + 5,152 = 76,15

Відповідь

U = 76,15

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9926

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 604/6 = 100,7

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 476

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3285

Коефіцієнт кореляції

r = 476/√(70·3285) = 0,9926

Відповідь

r = 0,9926

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 5,101

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 295/5 = 59

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 178

Лінія регресії

b = 178/40 = 4,45

a = 59 − 4,45·6 = 32,3

ŷ = 32,3 + 4,45·x

Розв’яжіть щодо x

x = (55 − 32,3)/4,45 = 5,101

Відповідь

x = 5,101

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1