Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 60, 26, 15, 38, 60.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 100. Знайдіть z-оцінку z для результату 540.

μ = 500σ = 100x = 540

z =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,3, 0,2, 0,15

σ =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €2. Ви виграєте €4 з імовірністю 0,15 і €20 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €2€4: p = 0,15€20: p = 0,05

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 60 s і середнім квадратичним відхиленням 5 s; Y незалежна й нормальна із середнім 45 s і середнім квадратичним відхиленням 4 s. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 95,4 s. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 95,4 s

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 25%

x = cm

7.Довірчі інтервалиСередня

95 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 100 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 5,2. Якою буде гранична похибка E₂ 99 % інтервалу за тими самими даними?

95%n₁ = 100E₁ = 5,299%

E₂ =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 15. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?

σ = 15E = 0,590%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 100 деталей має середню довжину 50,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 20 mm. Лінія 2: вибірка з 50 деталей має середнє 52,4 mm, відоме стандартне відхилення 9 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 100x̄₁ = 50,5 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 50x̄₂ = 52,4 mmσ₂ = 9 mm

z =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 36 вимірювань має середнє 196,7. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 8. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 196,7σ = 8n = 3695%

L =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (7, 18). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(7, 18)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 20,15

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 199/5 = 39,8

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 20,2² + (−13,8)² + (−24,8)² + (−1,8)² + 20,2² = 1625

Стандартне відхилення

s = √(1625/4) = 20,15

Відповідь

s = 20,15

2.Описова статистика

Відповідь: z = 0,4

Стандартизуйте

z = (540 − 500)/100 = 0,4

Відповідь

z = 0,4

3.Імовірність

Відповідь: σ = 1,062

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,35 + 2·0,3 + 3·0,2 + 4·0,15 = 2,15

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,3 + 9·0,2 + 16·0,15 = 5,75

Дисперсія

Var(X) = 5,75 − 2,15² = 1,128

σ = √1,128 = 1,062

Відповідь

σ = 1,062

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = −0,4 €

Чисті результати

G: 2 (p = 0,15), 18 (p = 0,05), −2 (p = 0,8)

Математичне сподівання

E(G) = 2·0,15 + 18·0,05 − 2·0,8 = −0,4 €

Відповідь

E(G) = −0,4 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9332

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (95,4 − 105)/6,403 = −1,5

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−1,5) = 1 − 0,06681 = 0,9332

Відповідь

P = 0,9332

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 173,3 cm

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Назад до x

x = 178 + −0,6745·7 = 173,28 cm

Відповідь

x = 173,28 cm

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 6,834

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(100/100) = 1,314

Нова похибка

E₂ = 5,2·1,314 = 6,834

Відповідь

E₂ = 6,834

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 2436

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,645·15/0,5)² = 2435

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 2436

Відповідь

n = 2436

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −0,8015

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(20²/100 + 9²/50) = √5,62 = 2,371

Статистика критерію

z = (50,5 − 52,4)/2,371 = −0,8015

Відповідь

z = −0,8015

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 194,1

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,96·8/√36 = 2,613

Межа інтервалу

L = 196,7 − 2,613 = 194,1

Відповідь

L = 194,1

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 1

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 335/5 = 67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 810

Коефіцієнт детермінації

r² = 180²/(40·810) = 1

Відповідь

r² = 1

Близько 100% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −5

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 100/5 = 20

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120

Лінія регресії

b = 120/40 = 3

a = 20 − 3·6 = 2

ŷ = 2 + 3·x

Прогнозоване значення

ŷ = 2 + 3·7 = 23

Залишок

e = 18 − 23 = −5

Відповідь

e = −5

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1