Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 35, 58, 21, 23, 36, 57, 18.
n = 7
s =
2.Описова статистикаСкладна
Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 25. Яка частка P значень більша за 475?
μ = 500σ = 25x = 475
P =
3.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
σ =
4.ІмовірністьСкладна
Тестують 7 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,25. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 7p = 0,25
P =
5.Нормальний розподілСередня
Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 164,35 і 188,85 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 178σ = 7x1 = 164,35x2 = 188,85
P =
6.Нормальний розподілСкладна
Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 95 % значень (95-й процентиль).
μ = 65σ = 10P = 95%
x = балів
7.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 60 телефонів, середнє 142,5 h, відоме стандартне відхилення 5 h. Модель 2: 60 телефонів, середнє 143,5 h, відоме стандартне відхилення 8 h. Знайдіть граничну похибку E 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
n₁ = 60x̄₁ = 142,5 hσ₁ = 5 hn₂ = 60x̄₂ = 143,5 hσ₂ = 8 h95%
E = h
8.Довірчі інтервалиСкладна
Діаметри 16 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 9,7 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 15 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 6,262 і 2,5 % — вище від 27,488.
n = 16s = 9,7 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 100 студентів має середній бал 119,1 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 119,1s = 4n = 100
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 64 вимірювань має середнє 498,4. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть верхню межу U 90 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 498,4σ = 5n = 6490%
U =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 5Σx = 30Σy = 302Σx² = 220Σy² = 18906Σxy = 1974
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 9.
n = 6x = 9
ŷ =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 16,54
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 248/7 = 35,43
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−0,4286)² + 22,57² + (−14,43)² + (−12,43)² + 0,5714² + 21,57² + (−17,43)² = 1642
Стандартне відхилення
s = √(1642/6) = 16,54
Відповідь
s = 16,54
2.Описова статистика
Відповідь: P = 0,8413
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −1
Таблиця нормального розподілу
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Відповідь
P = 0,8413
3.Імовірність
Відповідь: σ = 0,8047
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Дисперсія
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
σ = √0,6475 = 0,8047
Відповідь
σ = 0,8047
4.Імовірність
Відповідь: P = 0,4449
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,757 = 0,1335
P(X = 1) = 7·0,25·0,756 = 0,3115
Додайте
P = 0,1335 + 0,3115 = 0,4449
Відповідь
P = 0,4449
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9138
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (164,35 − 178)/7 = −1,95
z₂ = (188,85 − 178)/7 = 1,55
Площа між
P = Φ(1,55) − Φ(−1,95) = 0,9394 − 0,02559 = 0,9138
Відповідь
P = 0,9138
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 81,45 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
Назад до x
x = 65 + 1,645·10 = 81,45 балів
Відповідь
x = 81,45 балів
7.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 2,387 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 142,5 − 143,5 = −1
Стандартна похибка
SE = √(5²/60 + 8²/60) = 1,218
Похибка оцінки
E = 1,96·1,218 = 2,387
Відповідь
E = 2,387 h
Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.
8.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 15,01 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 15·9,7² = 1411
Межі для σ²
1411/27,488 = 51,34
1411/6,262 = 225,4
Межа для σ
σ = √225,4 = 15,01 µm
Відповідь
σ = 15,01 µm
95 % інтервал для σ: [7,165, 15,01] µm.
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −2,25
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4
Статистика критерію
t = (119,1 − 120)/0,4 = −2,25
Відповідь
t = −2,25
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 499,4
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,645·5/√64 = 1,028
Межа інтервалу
U = 498,4 + 1,028 = 499,4
Відповідь
U = 499,4
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9931
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 1974 − 30·302/5 = 162
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 18906 − 302²/5 = 665,2
Коефіцієнт кореляції
r = 162/√(40·665,2) = 0,9931
Відповідь
r = 0,9931
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 23,31
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 108/6 = 18
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 186
Лінія регресії
b = 186/70 = 2,657
a = 18 − 2,657·7 = −0,6
ŷ = −0,6 + 2,657·x
Прогноз
ŷ = −0,6 + 2,657·9 = 23,31
Відповідь
ŷ = 23,31
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1