Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 45, 17, 22, 39, 21, 30.
n = 6
s =
2.Описова статистикаСкладна
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 55.
μ = 70σ = 15x = 55
z =
3.ІмовірністьСередня
У мішечку 5 червоних і 5 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
5 / 5
P =
4.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €3. Ви виграєте €9 з імовірністю 0,15 і €150 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €3€9: p = 0,15€150: p = 0,05
E(G) = €
5.Нормальний розподілСередня
Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 167,15 і 186,4 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 178σ = 7x1 = 167,15x2 = 186,4
P =
6.Нормальний розподілСкладна
Маса виробу з лінії 1 (X) і з лінії 2 (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 500 g і середнє квадратичне відхилення 8 g, Y має середнє 490 g і середнє квадратичне відхилення 6 g. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Довірчі інтервалиСередня
90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 36 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 7,3. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 9 спостережень?
90%n₁ = 36E₁ = 7,3n₂ = 9
E₂ =
8.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 9. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?
σ = 9E = 1,599%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
16 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця −0,95, стандартне відхилення різниць 3,8. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μd = 0.
n = 16d̄ = −0,95sd = 3,8
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 3 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 17. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
α = 0,05потужність = 80%δ = 3σ = 17zα = 1,645zβ = 0,842
n =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 142?
n = 5ŷ = 142
x =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 11,08
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 174/6 = 29
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = 16² + (−12)² + (−7)² + 10² + (−8)² + 1² = 614
Стандартне відхилення
s = √(614/5) = 11,08
Відповідь
s = 11,08
2.Описова статистика
Відповідь: z = −1
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (55 − 70)/15 = −1
Відповідь
z = −1
3.Імовірність
Відповідь: P = 0,2222
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 5/10 · 4/9 = 20/90 = 0,2222
Відповідь
P = 0,2222
4.Імовірність
Відповідь: E(G) = 5,85 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 6 (p = 0,15), 147 (p = 0,05), −3 (p = 0,8)
Математичне сподівання
E(G) = 6·0,15 + 147·0,05 − 3·0,8 = 5,85 €
Відповідь
E(G) = 5,85 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8244
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (167,15 − 178)/7 = −1,55
z₂ = (186,4 − 178)/7 = 1,2
Площа між
P = Φ(1,2) − Φ(−1,55) = 0,8849 − 0,06057 = 0,8244
Відповідь
P = 0,8244
6.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8413
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Стандартизуйте
z = (0 − 10)/10 = −1
Імовірність
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Відповідь
P = 0,8413
7.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 14,6
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(36/9) = 2
Нова похибка
E₂ = 7,3·2 = 14,6
Відповідь
E₂ = 14,6
8.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 239
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·9/1,5)² = 238,9
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 239
Відповідь
n = 239
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −1
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартна похибка середньої різниці
SE = 3,8/√16 = 0,95
Статистика критерію
t = −0,95/0,95 = −1
Відповідь
t = −1
При df = 15 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,131; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 199
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((1,645 + 0,842)·17/3)² = 198,6
Округліть угору
n = 199
Відповідь
n = 199
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9184
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 132/6 = 22
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −45
Syy = Σ(y − ȳ)² = 126
Коефіцієнт детермінації
r² = −45²/(17,5·126) = 0,9184
Відповідь
r² = 0,9184
Близько 91,84% варіації y пояснюється прямою.
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 26,56
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 590/5 = 118
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 474
Лінія регресії
b = 474/90 = 5,267
a = 118 − 5,267·22 = 2,133
ŷ = 2,133 + 5,267·x
Розв’яжіть щодо x
x = (142 − 2,133)/5,267 = 26,56
Відповідь
x = 26,56
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1