Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня
152025303540

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 22, 38, 41, 19, 14.

n = 5
s =
2.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень більша за 174?

μ = 170σ = 10x = 174
P =
3.ІмовірністьСередня
n = 10k = 5N = ?

Скількома способами N можна обрати комісію з 5 осіб із групи з 10 осіб? Порядок не має значення.

n = 10k = 5
N =
4.ІмовірністьСкладна
xp(x)00,3510,320,35μ

X має показаний розподіл, а Y = 10X + 5. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 10X + 5
σY =
5.Нормальний розподілСередня
164,35190,95P = ?

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 164,35 і 190,95 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x1 = 164,35x2 = 190,95
P =
6.Нормальний розподілСкладна
10 g0X − Y?

Маса виробу з лінії 1 (X) і з лінії 2 (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 500 g і середнє квадратичне відхилення 8 g, Y має середнє 490 g і середнє квадратичне відхилення 6 g. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Довірчі інтервалиСередня
n = 15, sd​ = 1,60L = ?Ud̄ = 0,6E90%

Артеріальний тиск 15 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 0,6 і стандартне відхилення 1,6. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 15d̄ = 0,6sd = 1,690%t(14) = 1,761
нижня межа = mmHg
8.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 37, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 499%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 37. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 4?

σ = 37E = 499%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −2,0302,03

Вибірка з 36 студентів має середній бал 203,5 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 203,5s = 10n = 36
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
σ = 4, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 395%

Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 3? Стандартне відхилення — 4. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 4E = 395%
n =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy140341547753958xy5405060

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5
r² =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy25247068089810111xy5106080100x = 9

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (9, 101). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(9, 101)
e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 11,99

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 134/5 = 26,8

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−4,8)² + 11,2² + 14,2² + (−7,8)² + (−12,8)² = 574,8

Стандартне відхилення

s = √(574,8/4) = 11,99

Відповідь

s = 11,99
2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,3446

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Відповідь

P = 0,3446
3.Імовірність

Відповідь: N = 252

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(10, 5) = (10·9·8·7·6)/(5·4·3·2·1) = 252

Відповідь

N = 252
4.Імовірність

Відповідь: σY = 8,367

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σX = 0,8367

Лінійна зміна

σY = |10|·0,8367 = 8,367

Відповідь

σY = 8,367

Середнє таки зсувається: E(Y) = 10·1 + 5 = 15.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9423

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (164,35 − 178)/7 = −1,95
z₂ = (190,95 − 178)/7 = 1,85

Площа між

P = Φ(1,85) − Φ(−1,95) = 0,9678 − 0,02559 = 0,9423

Відповідь

P = 0,9423
6.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Імовірність

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413
7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −0,1275 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 14, t = 1,761

Похибка оцінки

E = 1,761·1,6/√15 = 0,7275

Інтервал

0,6 ± 0,7275 → [−0,1275, 1,328]

Відповідь

нижня межа = −0,1275 mmHg
8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 568

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·37/4)² = 567,8

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 568

Відповідь

n = 568
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,1

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667

Статистика критерію

t = (203,5 − 200)/1,667 = 2,1

Відповідь

t = 2,1
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| > 2,03, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 7

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,96·4/3)² = 6,83

Округліть угору

n = 7

Відповідь

n = 7
11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9648

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 239/5 = 47,8

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96
Syy = Σ(y − ȳ)² = 238,8

Коефіцієнт детермінації

r² = 96²/(40·238,8) = 0,9648

Відповідь

r² = 0,9648

Близько 96,48% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −3,1

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 411/5 = 82,2

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 292

Лінія регресії

b = 292/40 = 7,3
a = 82,2 − 7,3·6 = 38,4
ŷ = 38,4 + 7,3·x

Прогнозоване значення

ŷ = 38,4 + 7,3·9 = 104,1

Залишок

e = 101 − 104,1 = −3,1

Відповідь

e = −3,1

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1