Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 30, 44, 52, 34, 38, 13, 55.
n = 7
s =
2.Описова статистикаСкладна
Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень менша за 93,6?
μ = 100σ = 8x = 93,6
P =
3.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,15, 0,25, 0,35, 0,1
Var(X) =
4.ІмовірністьСкладна
X має показаний розподіл, а Y = 5X + 20. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 5X + 20
σY =
5.Нормальний розподілСередня
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 242,5 і 252,5 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 250σ = 5x1 = 242,5x2 = 252,5
P =
6.Нормальний розподілСкладна
Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 99 % значень (99-й процентиль).
μ = 32σ = 6P = 99%
x = min
7.Довірчі інтервалиСередня
Артеріальний тиск 8 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 7,4 і стандартне відхилення 0,9. Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для середньої різниці.
n = 8d̄ = 7,4sd = 0,999%t(7) = 3,499
E = mmHg
8.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 37. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?
σ = 37E = 0,599%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
20 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 4,83, стандартне відхилення різниць 9,4. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μd = 0.
n = 20d̄ = 4,83sd = 9,4
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1? Стандартне відхилення — 4. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 4E = 195%
n =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 5Σx = 30Σy = 136Σx² = 220Σy² = 4376Σxy = 980
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 42?
n = 5ŷ = 42
x =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 14,29
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 266/7 = 38
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−8)² + 6² + 14² + (−4)² + 0² + (−25)² + 17² = 1226
Стандартне відхилення
s = √(1226/6) = 14,29
Відповідь
s = 14,29
2.Описова статистика
Відповідь: P = 0,2119
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −0,8
Таблиця нормального розподілу
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Відповідь
P = 0,2119
3.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 1,49
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,15 + 1·0,15 + 2·0,25 + 3·0,35 + 4·0,1 = 2,1
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,15 + 1·0,15 + 4·0,25 + 9·0,35 + 16·0,1 = 5,9
Дисперсія
Var(X) = 5,9 − 2,1² = 1,49
Відповідь
Var(X) = 1,49
4.Імовірність
Відповідь: σY = 4,183
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 1, Var(X) = 0,7, σX = 0,8367
Лінійна зміна
σY = |5|·0,8367 = 4,183
Відповідь
σY = 4,183
Середнє таки зсувається: E(Y) = 5·1 + 20 = 25.
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,6247
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (242,5 − 250)/5 = −1,5
z₂ = (252,5 − 250)/5 = 0,5
Площа між
P = Φ(0,5) − Φ(−1,5) = 0,6915 − 0,06681 = 0,6247
Відповідь
P = 0,6247
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 45,96 min
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Назад до x
x = 32 + 2,326·6 = 45,96 min
Відповідь
x = 45,96 min
7.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 1,113 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критичне значення
df = 7, t = 3,499
Похибка оцінки
E = 3,499·0,9/√8 = 1,113
Відповідь
E = 1,113 mmHg
8.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 36338
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·37/0,5)² = 36338
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 36338
Відповідь
n = 36338
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 2,298
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартна похибка середньої різниці
SE = 9,4/√20 = 2,102
Статистика критерію
t = 4,83/2,102 = 2,298
Відповідь
t = 2,298
При df = 19 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,093; |t| більше, тож H₀ відхиляється.
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 62
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (1,96·4/1)² = 61,47
Округліть угору
n = 62
Відповідь
n = 62
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9967
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 980 − 30·136/5 = 164
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 4376 − 136²/5 = 676,8
Коефіцієнт кореляції
r = 164/√(40·676,8) = 0,9967
Відповідь
r = 0,9967
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 4,053
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 280/5 = 56
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190
Лінія регресії
b = 190/40 = 4,75
a = 56 − 4,75·7 = 22,75
ŷ = 22,75 + 4,75·x
Розв’яжіть щодо x
x = (42 − 22,75)/4,75 = 4,053
Відповідь
x = 4,053
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1