Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 22, 30, 31, 51, 10.
n = 5
s =
2.Описова статистикаСкладна
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 40,4.
μ = 50σ = 8x = 40,4
z =
3.ІмовірністьСередня
У мішечку 7 червоних і 7 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
7 / 7
P =
4.ІмовірністьСкладна
Тестують 8 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,25. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 8p = 0,25
P =
5.Нормальний розподілСередня
X нормальна із середнім 12 min і середнім квадратичним відхиленням 1,5 min; Y незалежна й нормальна із середнім 20 min і середнім квадратичним відхиленням 2 min. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 37 min. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 37 min
P =
6.Нормальний розподілСкладна
Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 80 % значень (80-й процентиль).
μ = 178σ = 7P = 80%
x = cm
7.Довірчі інтервалиСередня
90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 36 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 4,9. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 324 спостережень?
90%n₁ = 36E₁ = 4,9n₂ = 324
E₂ =
8.Довірчі інтервалиСкладна
Діаметри 30 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 2,6 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 29 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 16,047 і 2,5 % — вище від 45,722.
n = 30s = 2,6 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 100; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 5. Випадкова вибірка з 25 спостережень має середнє 101,48. Перевірте H₀: μ = 100 проти H₁: μ > 100. Знайдіть p-значення p.
μ₀ = 100σ = 5n = 25x̄ = 101,48H₁: μ > μ₀
p =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
У випробуванні одужують 105 з 150 пацієнтів, які отримували лікування A, і 78 з 100 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 105n₁ = 150x₂ = 78n₂ = 100
z =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3,5, 14). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(3,5, 14)
e =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 14,99
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 144/5 = 28,8
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−6,8)² + 1,2² + 2,2² + 22,2² + (−18,8)² = 898,8
Стандартне відхилення
s = √(898,8/4) = 14,99
Відповідь
s = 14,99
2.Описова статистика
Відповідь: z = −1,2
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (40,4 − 50)/8 = −1,2
Відповідь
z = −1,2
3.Імовірність
Відповідь: P = 0,2308
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 7/14 · 6/13 = 42/182 = 0,2308
Відповідь
P = 0,2308
4.Імовірність
Відповідь: P = 0,3671
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,758 = 0,1001
P(X = 1) = 8·0,25·0,757 = 0,267
Додайте
P = 0,1001 + 0,267 = 0,3671
Відповідь
P = 0,3671
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,02275
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Стандартизуйте
z = (37 − 32)/2,5 = 2
Верхній хвіст
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Відповідь
P = 0,02275
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 183,9 cm
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Назад до x
x = 178 + 0,8416·7 = 183,89 cm
Відповідь
x = 183,89 cm
7.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 1,633
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(36/324) = 0,3333
Нова похибка
E₂ = 4,9·0,3333 = 1,633
Відповідь
E₂ = 1,633
8.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 2,071 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 29·2,6² = 196
Межі для σ²
196/45,722 = 4,288
196/16,047 = 12,22
Межа для σ
σ = √4,288 = 2,071 µm
Відповідь
σ = 2,071 µm
95 % інтервал для σ: [2,071, 3,495] µm.
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: p = 0,06944
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерію
SE = σ/√n = 5/√25 = 1
z = (101,48 − 100)/1 = 1,48
Площа хвоста
Φ(1,48) = 0,9306
1 − Φ(1,48) = 0,0694
p-значення
p = 0,06944
Відповідь
p = 0,06944
p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = −1,399
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Вибіркові частки
p̂₁ = 105/150 = 0,7
p̂₂ = 78/100 = 0,78
p̂ = 183/250 = 0,732
Стандартна похибка за H₀
SE = √(0,732·0,268·(1/150 + 1/100)) = 0,05718
Статистика критерію
z = (0,7 − 0,78)/0,05718 = −1,399
Відповідь
z = −1,399
|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,8777
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 315/6 = 52,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 137
Syy = Σ(y − ȳ)² = 305,5
Коефіцієнт детермінації
r² = 137²/(70·305,5) = 0,8777
Відповідь
r² = 0,8777
Близько 87,77% варіації y пояснюється прямою.
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −4,5
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 111/6 = 18,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −56,5
Лінія регресії
b = −56,5/17,5 = −3,229
a = 18,5 − (−3,229)·3,5 = 29,8
ŷ = 29,8 − 3,229·x
Прогнозоване значення
ŷ = 29,8 + (−3,229)·3,5 = 18,5
Залишок
e = 14 − 18,5 = −4,5
Відповідь
e = −4,5
Точка лежить нижче прямої.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1